§87 保角变换和曲线坐标.doc

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1、§8.7保角变换和曲线坐标学习思路：   弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到x平面的单位圆。   这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换，矢量－位移，张量－应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。   在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）学习要点：   1.保角变换和曲线坐标；   2.矢量的保角变换；   3.位移分量的曲线坐标表达式

2、；   4.应力分量的曲线坐标表达式。为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换z=w(x)    将物体在z平面上所占的区域变为在x平面所占的区域。一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。   假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为x平面的单位圆内的区域S，并且将z平面上的区域S的边界l映射为单位圆g，对应的关系如下表：x平面z平面x=0（无穷远点）z=0（原点）r=const（圆）r=const（曲线）j=const（半射线）j=const（曲线）域S域Sdxdz   由于x平面上的任一点可以表示为，。r和j是点x的极坐标。   而根据保角变

3、换公式z=w(x)，则z平面任意一点也可以通过r和j表示。因此，r和j又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。曲线坐标的概念：x平面的一个圆周r=const和一条径向直线j=const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作r=const和j=const。  于是r和j可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴r和j的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标r，即j=const与x轴夹a角，如果A为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标r夹b角。设Ax,

4、Ay分别表示矢量A在x，y轴的投影；Ar,Aj表示在r=const和j=const上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动a角后，其在Oxy坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（r，j）中的位置，如图所示。   如果用ur,uj分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则   根据保角变换，有所以                  沿曲线（r）取微分线段dz，则在x平面对应的有dx，由于   所以，取其共轭可得          。   将上式回代到公式，可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先，设K-M函数和y(z)分别使用和y1(z)代替，同时令   根据位移

5、表达式，有   在z平面上，将位移矢量向曲线坐标r和j投影。由公式可得   上式两边同时乘以2G，可得   上式是x平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。如果用sr,sj,trj表示物体在曲线坐标中的应力分量。则      因为和,而由公式   所以      上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。§8.8无限大薄板的孔口问题学习思路：   本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍

6、然是将K-M函数分解为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。   对于K-M函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质，使用柯西积分使得计算简化。学习要点：   1.保角变换公式与K-M函数；   2.利用孔口边界条件确定K-M函数求解公式；   3.柯西积分确定K-M函数的级数形式。保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界l映射为x平面上的单位圆g，将l以外的无限区域S映射为x平面上的单位圆内的有限区域S，将z平面上的无穷远点映射为x平面的坐标原点，如图所示。   保角变换公式：  是将l以外的无限区域映射为

7、单位圆g内（

8、x

9、＜1）的普遍变换式，公式中R为实数，Ck为复数，而且<1。   保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数和y(x)，即将K-M函数和y1(z)变换到曲线坐标中去。其中                    因为                   由于<1，将上式展开，有 所以，              lnz=lnx+单位圆内部x的解析函数。 另外             。   根据上述分析，的各项都转变为单位圆内x的单