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时间:2020-11-26
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1、§8.7保角变换和曲线坐标学习思路: 弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状,如果利用空间的变换,将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长,将孔口问题映射到x平面的单位圆。 这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换,矢量-位移,张量-应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂,但是边界条件的简化,以及柯西积分的应用将简化问题的分析。 在本节学习之前,请你先学习附录2,(有关保角变换的知识)学习要点: 1.保角变换和曲线坐标; 2.矢量的保角变换; 3.位移分量的曲线坐标表达式
2、; 4.应力分量的曲线坐标表达式。为了便于根据边界条件确定K-M函数,采取保角变换z=w(x) 将物体在z平面上所占的区域变为在x平面所占的区域。一般的说,通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界,使得问题得以简化。 假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为x平面的单位圆内的区域S,并且将z平面上的区域S的边界l映射为单位圆g,对应的关系如下表:x平面z平面x=0(无穷远点)z=0(原点)r=const(圆)r=const(曲线)j=const(半射线)j=const(曲线)域S域Sdxdz 由于x平面上的任一点可以表示为,。r和j是点x的极坐标。 而根据保角变
3、换公式z=w(x),则z平面任意一点也可以通过r和j表示。因此,r和j又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中,采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。曲线坐标的概念:x平面的一个圆周r=const和一条径向直线j=const分别对应于z平面的两条曲线,这两条曲线就记作r=const和j=const。 于是r和j可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性,这个曲线坐标总是正交的,而且坐标轴r和j的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同,如图所示。首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标r,即j=const与x轴夹a角,如果A为z平面上的任一矢量,设A与曲线坐标r夹b角。设Ax,
4、Ay分别表示矢量A在x,y轴的投影;Ar,Aj表示在r=const和j=const上的投影,则上式的几何意义为,将矢量A绕z点顺时针方向转动a角后,其在Oxy坐标系的位置,相当于A在曲线坐标系(r,j)中的位置,如图所示。 如果用ur,uj分别表示曲线坐标下的位移矢量分量,则 根据保角变换,有所以 沿曲线(r)取微分线段dz,则在x平面对应的有dx,由于 所以,取其共轭可得 。 将上式回代到公式,可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先,设K-M函数和y(z)分别使用和y1(z)代替,同时令 根据位移
5、表达式,有 在z平面上,将位移矢量向曲线坐标r和j投影。由公式可得 上式两边同时乘以2G,可得 上式是x平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。如果用sr,sj,trj表示物体在曲线坐标中的应力分量。则 因为和,而由公式 所以 上式为经过保角变换后,z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。§8.8无限大薄板的孔口问题学习思路: 本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题,确定K-M函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式,将K-M函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍
6、然是将K-M函数分解为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。 对于K-M函数的级数形式,通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。这个求解过程,利用保角变换后孔口边界的特殊性质,使用柯西积分使得计算简化。学习要点: 1.保角变换公式与K-M函数; 2.利用孔口边界条件确定K-M函数求解公式; 3.柯西积分确定K-M函数的级数形式。保角变换的目标是:将z平面上的孔口边界l映射为x平面上的单位圆g,将l以外的无限区域S映射为x平面上的单位圆内的有限区域S,将z平面上的无穷远点映射为x平面的坐标原点,如图所示。 保角变换公式: 是将l以外的无限区域映射为
7、单位圆g内(
8、x
9、<1)的普遍变换式,公式中R为实数,Ck为复数,而且<1。 保角变换公式确定以后,可以确定K-M函数和y(x),即将K-M函数和y1(z)变换到曲线坐标中去。其中 因为 由于<1,将上式展开,有 所以, lnz=lnx+单位圆内部x的解析函数。 另外 。 根据上述分析,的各项都转变为单位圆内x的单
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