保三角形函数的专题.doc

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1、保三角形问题第一题1第二题3第三题4第一题13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”.3分对于，3

2、，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”．4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故保三角形函数研究专题Page7of7不是“保三角形函数”．8分（III）的最大值为．9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”．对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（

3、1），此时，同理，，∴，故，．同理可证其余两式.∴可作为某个三角形的三边长．（2）此时，，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，保三角形函数研究专题Page7of7∴．同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长．故时，是“保三角形函数”．综上，的最大值为．∴第二题保三角形函数研究专题Page7of7第三题一道调研试题的解法及思考江苏泰兴市第二高级中学（）叶玉明题目：（江苏南通2009年高三第一次调研测试）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c

4、都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：①f(x)＝；②g(x)＝sinx(x∈(0，π)).（2）若函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.（1）【答】f(x)＝是保三角形函数，g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.【证明】①f(x)＝是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，f(a)＝，f(b)＝，f(c)＝.因

5、为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.同理可以证明：＋＞，＋＞.所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故f(x)＝是保三角形函数.②g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长.而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.所以g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函数.(2)【解】M的最小值为2.(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函数.对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b

6、＋c＞a，c＋a＞b，则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，即lna＋lnb＞lnc.同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.故函数h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.(ii)其次证明当0

7、ge7of7因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)＝lnx不是保三角形函数.所以，当M＜2时，h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.综上所述：M的最小值为2.思考1、如果是定义在上的周期函数，且值域为，则是不是“保三角形函数”？设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数”．

8、思考2、由解法可知不是保三角形函数，但是在定义域的某个区间上能不能成为保三角形函数？比如是保三角形函数，求的最大值。（可以利用公式）分析：的最大值为．一方面，若，下证不是“保三角