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1、高一数学函数的奇偶性人教A版必修一xy0函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)为偶函数.知识要点偶函数图象的性质:偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.知识要点观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？xy1xy1-1思考：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.o3-2221-113-1-2-3观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2
2、-3f(x)=x两个函数的图像都关于原点对称.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3123f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.知识要点奇函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.知识要点-23yox观察下面函数图像，看是奇函数吗？思考：如果一个
3、函数的图象关于原点对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.yox-221、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．注意3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。o3-2221-113o3-2221-113o3-2221-113-2-3o
4、3-2221-11321f(x)=x奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法.注意（1）判断函数的奇偶性.（2）如图是函数图像的一部分，能否根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图像吗？yx0（1）奇函数（2）根据奇函数的图像关于原点对称例1说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4_______④f(x)=x-1________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2________偶函数③f(x)=x5________⑥f(x)=x-3___________
5、__结论：一般的，对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数.若n为奇数，则它为奇函数.例2：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=-5x=-f(x)所以函数f(x)=5x为奇函数.（2）对于函数的定义域为:（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有且所以函数既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数的定义域为{x∣x≠0}对于定义域中的每一个x，都有所以函数是奇函数.（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+∞）
6、对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)=3是偶函数.奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数（5）f(x)=0.（5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.根据奇偶性,函数可划分为四类:判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。一看看定义域是否关于原点对称二找找关系f(x)与f(-x)三判断下结论奇或偶练习判断下列函数
7、的奇偶性：解：(1)因为所以f(x)是奇函数.因为f(-x)=
8、-x
9、+1=
10、x
11、+1=f(x),所以f(x)是偶函数.因为，所以f(x)是偶函数.所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性.（5）函数的定义域为[-3,3),故f(3)不存在，同上可知函数没有奇偶性.故函数没有奇偶性.解：（4）当x=-3时，由于，故f(3)不存在，例3已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当求（1)f(-1)；(2)若t<0,求f(t).例4判断函数是否具有奇偶性？解：当a=0时，此时函数f(x)为奇函数.当a
12、≠0时，此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立，即函数既不是奇函数也不是偶函数.1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的
