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《函数的奇偶性（一）课件（人教A版必修1）.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2函数的奇偶性引例1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考:(1)这个函数图象有什么特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.1.偶函数的概念2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)
2、,f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)(-x,-y)(x,y)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇函数的概念如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(1)奇、偶函数定义的反过来也成立,即若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.若f(x
3、)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．注意事项[a,b][-b,-a]xo(3)函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.例1.判断下列函数的奇偶性定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。（2）函数是定义在上的偶函数,则该函数的值域是_____.定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.3.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函
4、数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.知识探究思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？有多少个？f(x)=0思考2:若f(x)是在原点有意义的奇函数，那么f(0)的值如何？f(0)=0思考3:复合函数奇偶性如何？例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-
5、x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数．函数定义域为R．解:函数定义域为R．=f(x)，(4)f(x)=x+1根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.解:函数定义域为[0,+∞)．∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．判定函数的奇偶性的步骤：(
6、1)先求函数的定义域；①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;(2)计算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),则函数是偶函数,②若等于－f(x),则函数是奇函数,③若不等于,则函数是非奇非偶函数(3)结论.有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.练习：判断下列函数的奇偶性∴f(x)为奇函数.解:定义域为{x
7、x≠0},即f(-x)=-f(x),(2)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.∵f(-
8、x)=f(x)=5yox5∴f(x)为偶函数.(4)f(x)=
9、x+1
10、-
11、x-1
12、∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.解:函数的定义域为{-1,1},例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象.xyo解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=－f(x).∵当x≥0时,f(x)=x2－2x,∴当x＜0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即-f(x)=(x2+2x),∴f(x)=-x2-2x.复习回顾1.两个定义:对于f(x)定义域内的任
13、意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤①考查函
