重心位置不变性的数学证明.docx

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1、重心相对位置不变性的数学证明百度ID：知不道42<1>平行力系中心<2>.重心<3>.自由度刚体自由度：由于空间刚体在空间的任意运动可以分为平动和转动，分别为沿x，y，z轴的平动和绕x，y，z轴的转动证明:由于刚体任意运动可能既包含转动和平动，先考虑刚体作转动或者平动，然后在考虑同时包含平动和转动设有一任意形状的物体在空间中，建立如图所示坐标系，且此物体在此坐标系初始时刻中的重心为(Xc，Yc，Zc)1>当物体在空间中仅做平动时将物体空间运动分为沿x，y，z轴的平动，设物体沿x，y，z轴的位移分别为X1,Y1,Z1，即物体上各点的

2、位移皆为X1,Y1,Z1。可知此时物体原重心点（Xc，Yc，Zc）移动后坐标为（Xc+X1，Yc+Y1，Zc+Z1）由重心公式得：初始重心：Xc=∑GiXi∑Gi,Yc=∑GiYi∑Gi,Zc=∑GiXi∑Gi刚体运动后重心位置：Xc’=∑Gi(Xi+X1)∑Gi,Yc’=∑Gi（Yi+Y1)∑Gi,Zc’=∑Gi(Zi+Z1)∑Gi且Xc’=∑Gi(Xi+X1)∑Gi=∑GiXi∑Gi+∑GiX1∑Gi=Xc+X1Yc’=∑Gi（Yi+Y1)∑Gi=∑GiYi∑Gi+∑GiY1∑Gi=Yc+Y1Zc’=∑Gi(Zi+Z1)∑Gi

3、=∑GiZi∑Gi+∑GiZ1∑Gi=Yc+Z1结论：当刚体在空间坐标系中任意移动(不包含转动)时，刚体重心(Xc,Yc,Zc)在物体中相对位置未发生改变。2>当物体在空间中仅做转动时例：设此刚体绕Z轴转动，初始重心为(Xc，Yc，Zc)由刚体绕Z轴转动任意角度α，刚体各位置Z方向坐标不发生变化即Zc’=Zc重心在XoY平面的投影如图所示，由几何关系得：Xc=rcosθ，Yc=rcosθ.刚体转动后原重心位置坐标:Xc’=rcos(θ+α)=rcosθcosα-rsinθsinα=Xc*cosα-Yc*sinαYc’=rsin(θ

4、+α)=rsinθcosα+rcosθsinα=Yc*cosα+Xc*sinαZc’=Zc而由重心位置公式计算转动一定角度后重心坐标Xi:刚体第i部分X轴坐标，Yi:刚体第i部分Y轴坐标θi:刚体第i部分与y轴正方向夹角且Xi=cosθi,Yi=sinθi原Xc=∑GiXi∑Gi=∑Gi*ri*cosθi∑Gi,Yc=∑GiYi∑Gi=∑Gi*ri*sinθi∑Gi转动α角度后，各部分参数分别表示为Xi’，Yi’由重心坐标公式Xc’’=∑Gi*ri*cos⁡(θ+α)∑Gi=∑Gi*ri*(cosθ*cosα-sinθ*sinα)

5、∑Gi=∑Gi*ri*cosθ*cosα∑Gi-∑Gi*ri*sinθ*sinα∑Gi=∑Gi*Xi*cosα∑Gi-∑Gi*Yisinα∑Gi=Xc*cosα-Yc*sinα由Z坐标不变Z’’=Z:同理可求Yc’’=Xc*sinα+Yc*cosα由Xc’=Xc’’,Yc’=Yc’’,Zc’=Zc=Zc’’故刚体绕Z轴旋转任意角度后，重心相对位置不变。同理可证：刚体绕X轴，Y轴转动后重心相对位置不变化结论：当刚体在空间坐标系中做任意运动时，可看做平动和转动的叠加，又由刚体做平动或转动时重心相对位置不发生变化，故叠加后重心相对位置仍

6、不变。//由于水平有限，错误之处，敬请批评指正。