解析几何在实际中的应用.ppt

《解析几何在实际中的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解析几何在实际生活中的应用解析几何既是应用数学专业的一门基础课，又在其他科学技术中有着直接的应用。例如，大部分机械零件的外形都是平面、柱面、椎面、球面等等曲面之一，或是它们的某种组合。这里不打算详细介绍解析几何在实际中的应用，因为那要涉及其他科技方面的知识。这里仅举几个简单的例子。一、多面体零件的计算一多面体零件如图所示，在制造时，需要求出二面角、、和的角度和，以便制造测量样板，试求角和的值。解可以应用前面学过的知识解此问题。为此，先如上图所示，取坐标原点为C，建立直角坐标系Oxyz。各点的坐标已知为其次，求出诸平面的方程。我们知道，过点的平面方程为于是过点的平面方程为将点D、

2、点A的坐标代入上式，有解此方程，得于是求得平面DAE的方程为类似的可求得平面BAE的方程为及平面FBE的方程为平面CBF的方程为平面GEF的方程为最后，由平面夹角的余弦公式可求得平面DAE和BAE的交角的余弦故平面ABE和FBE的夹角的余弦为故平面EBF和CBF的夹角的余弦为故平面GEF和BEF的夹角的余弦为故二、板金零件的展开图图二是我们通常见到的二通管道变形接头或炉筒拐脖的示意图。制造这类零件，先按照零件展开图的度量尺寸（展平曲线）在薄板（铁皮或铝板等）上下料，然后弯曲成型，并将各部分焊接在一起。为了获得零件展开图的展平曲线，必须求出截交线的方程。设圆柱管道的方程为截平面的

3、方程为为求截平面与管道的截交线方程，将管道的方程改写成参数形式将其代入截平面方程中，得圆柱的底圆展平时有，即，这里是弧长。将代入上式，有上式即是截交线（截平面与圆柱管道的交线）的展平曲线方程。如果截平面是正垂面（平y轴）：，则截交线的展平曲线方程成为即这是一条调整过振幅的余弦曲线。三、火力发电厂的供水塔火力发电厂的供水塔（冷却塔）的横截面曲线均为圆，其半径R与塔高H的关系（见图4）为度量单位为m。令冷却塔的中心轴为z轴，z轴与地面的交点为原点，在地面上选一个方向y轴，则有冷却塔半径R与塔高H的关系式可以改写为冷却塔的外形曲面的方程可以表示为即这正是旋转单叶双曲面。四、交叉管道的

4、距离在工程中有时要将两条交叉管道连通，需求出连接管的最短长度和连接位置，这在几何上归结为求两条交叉空间（异面）直线的距离。两条异面直线的距离为这两条直线的公垂线的长度。设两交叉管道AB与CD所在直线方程依次为试求直线AB与CD的距离。先过直线CD作平行于直线AB的平面，则其方程为将上式左端的三阶行列式按第1行展开，得因为直线AB平行于平面，故直线AB上任意一点到平面的距离即是两直线AB与CD的公垂线的长度。因此，直线AB上的点到平面的距离为这就是直线AB与CD之间的距离。五、直纹曲面的应用实例（一）飞机机翼的外形曲面我们来看飞机机翼的外形曲面，下图表示两个平行横截面之间的机翼外

5、形。横截面的边界是两条参数闭曲线，其方程为作参数变换和，这样有和对于同一参数，在两横截面的边界线分别对应两点。这两点的直线向量式参数方程为其中为参数。当从时，上直线就连续地描出一张直纹曲面，此直纹曲面的方程可以写为其中为曲面的参数。（二）、飞机机翼的整流面某型号飞机的机翼为直纹面，机翼表面上的信号灯（或称航向灯）突出部分的曲面称为整流面，是由两族不同方向的直母线相交织构成的曲面。整流面上四个不重合的点，可以确定整流面上的一小片曲面的方程。设四个点对应的向径分别表示为。这块整流曲面片的边界线均为直线，四条直线的方程可以表示为由直线和直线确定的直纹曲面可以表示为由直线和确定的直纹曲

6、面可以表示为显然两直纹曲面和在四个角点处的函数值相等。因此这块整流曲面的方程可以表示为六、生产规划问题某厂生产A和B两种产品，生产A一吨要用煤9t，电力4kW，劳动力3个（以工作日计算）；生产B一吨要用煤4t，电力5kW，劳动力10个。已知生产A一吨的经济价值为7千元；生产B一吨的经济价值为1万2千元。现在该厂有煤360t，电力200kW，劳动力300个。问应该生产A和B各多少t，才使所创造的经济价值最大？设生产A和B两种产品各为和，则问题立即转化为如下数学问题。在限制条件：之下，使所创造的经济价值（以千元为单位）达最大，即此问题可用图解法解：阴影部分为可行域由图五可以看出S的

7、最大值在点处取得，最大值为428。七、平面图形的变换在目前已广泛应用的计算机绘图中，常要对图形进行各种变换。图形变换不同于坐标变换，坐标变换是图形不变，坐标系改变，而图形变换是坐标系不变，图形改变，图形变换的基本问题是建立图形上的点与变换前和变换后其坐标之间的关系式。为简明起见，这里仍以矩阵为工具，并且只在直角坐标系中讨论。1、基本变换图形的缩放、对称、错移、旋转、平移等变换称为基本变换。平面上的点的坐标可以用行矩阵表示。设是变换前图形上点的坐标是变换后图形上的坐标。除平移外，上述几种基本变