导数在实际生活中的应用.ppt

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1、高中数学选修２-２1.4导数在实际生活中的应用新课引入导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用.2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用.（面积和体积等的最值）（利润方面最值）（功和功率等最值）例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为xcm，箱子容积为V＝x2h则箱高V´=60x－3x²/2令V´＝0，得x＝40，x＝0(舍去)得V(40)＝16000答：

2、当箱底边长为x＝40时，箱子容积最大，最大值为16000cm3．当x∈(0，40)时V´(x)＞0；当x∈(40，60)时V´(x)＜0；∴V(40)为极大值，且为最大值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？hR解:设桶底面半径为R，因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．333变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S＝2πRh＋2πR2h＝V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3V´(R)＝0S

3、＝6πR26πR2＝2πRh＋2πR2h＝2R．例3在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？R解：电功率P＝I2R，其中I＝为电流强度，则P＝[E/(R＋r)]2R＝由P´＝0，解得：R＝r．列表分析，当R＝r时，P取得极大值，且是最大值．最大值为P＝．答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是．例4强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方

4、成反比．ABPX3－X解：如图，设点P在线段AB上，且P距光源A为x，则P距光源B为3－x(0＜x＜3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）P点受B光源的照度为从而，P点的总照度为：解得x＝2，故当0＜x＜2时，I´(x)＜0；当2＜x＜3时，I´(x)＞0．因此，x＝2时，I取得极小值，且是最小值．答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．例5在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x).（1）设C(x)＝10－6x3－0.0

5、03x2＋5x＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C´(x)最低?（2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？解：（1）c´(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)，g´(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上仅有一个极小值，故x＝1000时边际成本最低．（2）P(x)＝R(x)－C(x)＝x(100－0.01x)－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000，x＝2500，而P(x)最大，此时P＝100－25＝75．答：生产1000个单

6、位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大．四、课堂练习1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________和________．2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大．3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.五、

7、回顾反思（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．