理解定积分定义要注意以下三点.ppt

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1、第九章  定积分§1 定积分的概念教学内容：1)  定积分概念的引入2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立3)  定积分的数学定义重点： 定积分的数学定义难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景1、曲边梯形的面积2、变力所做的功11曲边梯形的面积中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。2上面用九

2、个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割

3、圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。3假设抛物线方程为:将等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用宽为，高为的矩形代替，如下图：则它的第i个小曲边梯形的面积：所求的总面积:4我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值：567由此可知，分割越细，越接近面积准确值再看一个变力做功的问题设质点m受力的作用，沿直线由A点运动到B点，求变力的做的功。F虽然是变力，但在很短一段间隔内看作

4、是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，，F的变化不大，可近似1） 对作分割：8当每个小区间的长度都很小时，小区间上的力：在 上，力F作的功2）求和力F在 上作的功分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：时，93）取极限对上面和式取极限，极限值就是力在 上作的功。从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如：的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要

5、讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）10定义设是定义在区间上的一个函数，在闭区间上任取n-1个分点把[a,b]分成n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示,分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式:以后简记为11此和式称为在上属于分割T的积分和（或黎曼和，设是一个确定的数，若对任意总存在某个，使得上的任何分割T，只要它的细度，属于分割T的所有积分和 都有则称在上可积,称J为函数在上的定积分(或黎曼积分)，记作12利用积分的定义，前面提到

6、曲边梯形面积可简洁的表示为:变力作功问题可表示为例 用定义求积分解 分法与介点集选法如例1, 有13上式最后的极限求不出来, 但却表明该极限值就是积分三．理解定积分定义要注意以下三点：1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷多种，即使分割确定，介点仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关14。3)  表示

7、分割越来越细的过程，分点个数，但反过来，并不能保证，所以：不能写成：4)、定积分的几何意义(作图并解释）abxyo15四．小结：学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直”代“曲”；然后把所有

8、长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心思想。16§2牛顿—莱布尼兹公式若用定积分定义求，一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。17公式使用说明：18利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上