最新等差数列前n项和的性质课件ppt.ppt

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1、等差数列前n项和的性质【知识复习】1.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？在结构上是关于n的一次函数.an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)dan＝pn＋k.2.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？想一想：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？S3n＝3(S2n－Sn)思考2：若{an}为等差数列，那么是什么数列？数列{an}是等差数列为等差数列即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。性质：【题型分类深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的

2、简单应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13B.12C.11D.10『变式探究』1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列{an}前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，则an＝.3.等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；4.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为(　　

3、)A.130B.170C.210D.2605.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，，则S2011的值为(　　)A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011思考3：在等差数列{an}中，记奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶.则S偶－S奇与等于什么？思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等于什么？例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，且，则.1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)A．2B．

4、3C．4D．5『变式探究』思考5：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.题型2：等差数列最值问题例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．>>小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法：方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质方法2：讨论数列{an}的通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n满足an≥0

5、且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n满足an≤0且an+1>0;『变式探究』1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？2.等差数列{an}前n项和Sn中，以S7最大，且

6、a7

7、<

8、a8

9、，则使Sn>0的n的最大值为_____．3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0，S13＜0.（1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大。4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且

10、第六项为正，第七项为负.（1）求数列{an}的公差d；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn>0时，求n的最大值；例4：已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列{

11、an

12、}的前n项和Tn.当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1时适合上式，∴{an}的通项公式为an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤，即当1≤n≤6(n∈N*)时，an＞0；当n≥7时，an＜0.解析：题型4：求等差数列的前n项的绝对值之和(1

13、)当1≤n≤6(n∈N*)时，Tn＝

14、a1

15、＋

16、a2

17、＋…＋

18、an

19、＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝

20、a1

21、＋

22、a2

23、＋…＋

24、an

25、＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.『变式探究』1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设Sn＝

26、a1

27、＋

28、a2

29、＋…＋

30、an

31、，求Sn.(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2

32、an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列，d＝＝－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*.解析：②当n≥6，n∈N*时，题型5：等差数列的综合应用①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2a