2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.1.1第2课时正弦定理2学案含解析新人教A版必修5.doc

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1、学习第2课时　正弦定理(2)学习目标核心素养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数．3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养．2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．1．正弦定理及其变形(1)定理内容：＝＝＝2R(R为外接圆半径).(2)正弦定理的常见变形：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；②＝＝＝＝2R；③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；④sinA＝，sinB＝，sinC

2、＝．思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.2．对三角形解的个数的判断-11-/11学习已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明名称图形关系式解的个数A为锐角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA

3、bsinA无解思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．[提示]sinB＝sinA＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝的角有60°

4、在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)A．直角三角形　B．等腰三角形-11-/11学习C．锐角三角形D．钝角三角形B[由正弦定理可得sinA＝sinC⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝30°，a＝3，c＝2，则△ABC的面积为(　　)A．B．C．D．B[由题意可知，△ABC的面积为acsinB＝×3×2×sin30°＝.]3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解B．两解C．无解D．无法确定A[由b

5、为．45°[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]三角形解的个数的判断【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°.-11-/11学习[解](1)a＝10，b＝20，a20sin60°＝10，∴absinA，∴bsinA

6、弦定理得sinB＝＝＝，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°X围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．1．(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．(2

7、)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x-11-/11学习的取值X围是________．(1)1　(2)(2，2)[(1)因为A＝45°＜90°，a＝4＞3＝b，所以△ABC的个数为一个．(2)由asinB＜b＜a，得x＜2＜x，∴2＜x＜2.]三角形的面积【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.思路探究：根据C＝及cos＝，利用sinA＝s