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1、第四讲矩阵特征性质与计算1.特征计算2.特征性质应用于特征值计算、特征向量证明3.矩阵相似及其应用4.矩阵多项式计算矩阵特征问题来源（1）空间线性变换的不变方向（特征向量）和不变量(特征值）；（2）矩阵乘方的快速计算（矩阵对角化后,矩阵乘方就是对角矩阵乘方,就容易了）。这两种说法好像都是正确的。矩阵特征问题的概念定义1 设是阶方阵，若存在数和维非零列向量使得，则称为方阵的特征值，非零列向量为方阵的属于特征值的特征向量．的特征行列式:的特征多项式:(关于的一元次多项式）的特征（多项式）方程：（关于的一元次方程）.关于的特征矩阵：关于的特征方程组：.设，则，称为方
2、阵的迹。1.特征计算求方阵的特征值与特征向量的方法①求；②令，求得的全部特征值；③对，求齐次线性方程组的一个基础解系（化为行最简形） （其中），则的相应于特征值的全部特征向量为:，(为任意不全为0的常数）由于特征向量是非零向量,故上式必须强调不全为0.例1 求二阶方阵的特征值与特征向量．解 由的特征行列式,令得的特征值，． 对,由于，得到一个基础解系为.故的相应于的全部特征向量为（为任意非零常数）．对，由于，得到一个基础解系为.故的相应于的全部特征向量为(为任意非零常数）．例2 求矩阵的特征值和与最大特征值对应的特征向量．解 由的特征行列式， 令得的特征值为
3、，．对的最大特征值，由于，得的一个基础解系为， 。故的相应于最大特征值的全部特征向量为，（为不同时为0的任意常数）．2特征性质应用于特征值计算、特征向量证明特征值性质设为阶方阵，则一定有个特征值（其中重根按重数计算）,且具有如下性质:（1）根性：特征值都满足，从而有时也叫做特征根。（2）不变量：只要有为数,使，则就是的特征值。（3）整体性：①，即。②,即．从而，即可逆的充分必要条件是0不为的特征值．（4）函数性:为函数，只要有意义，则的全部特征值为，从而的特征值的重数相对于的特征值的重数具有不减少性.特别，的全部特征值为.当可逆时，的全部特征值为。（1）化零
4、性:如果，则。反过来，如果，则注意：仅某些,不一定有。（2）转置相同性：与有相同的特征值。（3）共轭性：的全部特征值为。例3设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的特征值.（1)；(2）；（3）；(4)。解（1）的全部特征值为；（2）的全部特征值为；（3）的全部特征值为；（4）的全部特征值为。例4设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的行列式值和迹.（1）；(2）;（3）;（4).解(1）的全部特征值为。从而的行列式值为.的迹为.（2）的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.（3）的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.(4）的全部特征值为。从而的行列式值为.的迹
5、为.例5设矩阵满足，试证明。证由于知道是的特征值，从而有一个特征值为，于是.例6设矩阵满足，试证明。证由于得或知道是的特征值或是的特征值，从而有一个特征值为或有一个特征值为，总之有一个特征值为，于是.例7设，证明的特征值只能取或。证设为的特征值，根据知道,从而或。特征向量的性质设阶方阵的互不相等的特征值为，对每个，取线性无关的特征向量组（其中），则它们合起来组成的大向量组；；；仍然是线性无关的。例8设.试证明不是的特征向量,其中至少有两个不等于.证由题设知道向量组是线性无关的，且①下面用反证法证明不是的特征向量，其中.设是属于某个特征值的特征向量，即有②由上面
6、的①②两式得,根据是线性无关的就得到，再由题设至少有两个不等于，就得到要等于中的两个，这是不可能的.3矩阵相似及其应用矩阵相似的概念定义2对于矩阵，如果存在可逆矩阵,使得，则称与相似，并称从到得变换为相似变换，可逆矩阵称为相似变换矩阵.定义3如果方阵与对角矩阵相似，则称可(相似）对角化。相似矩阵的性质（1）设矩阵与相似，则与有相同的特征行列式：.从而与有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的秩，相同的迹.（2)设矩阵与相似，则与相似、与相似、与相似、与相似（矩阵和可逆时)、与相似．注意:当与相似，与相似时，不一定成立：与相似，与相似（3）设与相似
7、,，则分块矩阵与相似.(4）同阶方阵之间的相似关系式一个等价关系，即具有：①自反性：对于任意阶方阵，有与相似；②对称性：若与相似,则与相似；③传递性：若与相似,与相似，则与相似．例9设矩阵与相似,求，其中解由于与相似，所以，的特征值也是的特征值,即①，②,从而。矩阵可（相似）对角化得条件阶矩阵可（相似）对角化有个线性无关的特征向量。对于的每个特征值,设其重数为，有属于的个线性无关的特征向量。对于的每个特征值，设其重数为,。对于的每个特征值，。例10设矩阵可（相似）对角化,求，其中解先求的特征值得的特征值为，为重根，，为重根。再对重数的特征值,计算要，必须，从而
8、.
