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《2016新课标三维人教B版数学必修12.4函数与方程.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途 2．4。1 函数的零点预习课本P70～71，思考并完成以下问题(1)函数零点的定义是什么？ （2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么? 1．函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零,即f（α)＝0,则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是（α，0）点．[点睛] 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系判别式ΔΔ〉0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0)的图象一元二次方
2、程ax2＋bx有两相异实根x1，x2有两相等实根x1＝x2＝－没有实根个人收集整理勿做商业用途＋c＝0的根（x1〈x2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，x2有一个二重零点x1＝x2没有零点1．判断．(正确的打“√"，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．( ）（2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2,则函数y＝f（x)的零点为(x1,0）(x2,0）．( )（3)若函数y＝f(x）在区间(a，b)上有零点，则一定有f（a）·f（b）＜0.( )答案:(1）× (2)× （3)×2．函数y＝x2－
3、4x＋3的零点是( )A．1，－3 B．3，－1C．－1,－3D．1，3答案：D3．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )答案：D4．函数f(x）＝x2－5x的零点是________．答案：0,5个人收集整理勿做商业用途求函数的零点［典例］ 求下列函数的零点．(1）f（x）＝－x2－2x＋3；(2）f（x)＝。［解］ (1）∵f(x）＝－x2－2x＋3＝－(x＋3）（x－1），∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1。故函数的零点是－3,1.(2）∵f（x）＝＝，令＝0,解得x＝－1，故函数的零点是－
4、1.函数零点的求法求函数f（x)的零点时,通常转化为解方程f（x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根,则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x）的零点;否则，函数f（x)不存在零点．[活学活用]求下列函数的零点：(1）f（x）＝x3－x2＋x－1;（2）f(x）＝x4－2x2－3。解：（1）∵f（x)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1）＋(x－1)＝(x－1）(x2＋1)＝0,而x2＋1≠0，故x＝1，个人收集整理勿做商业用途∴f（x）＝x3－x2＋x－1的零点为1。（2）由f（x)＝x4－2x2－3＝（x2－3）(x2＋1
5、）＝(x＋）·（x－)·（x2＋1），而x2＋1≠0,得x＝±.∴f(x)＝x4－2x2－3的零点为，－.判断函数零点的个数[典例］ 判断函数f(x)＝x2－的零点的个数？［解］ [法一 图象法]由x2－＝0，得x2＝.令h(x)＝x2（x≠0），g(x)＝。在同一坐标系中画出h(x）和g（x）的图象，可知两图象只有一个交点，故函数f(x）＝x2－只有一个零点．[法二 方程法］令f(x）＝0,即x2－＝0，∴＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0。∴(x－1）(x2＋x＋1）＝0。∴x＝1或x2＋x＋1＝0。∵方程x2＋x＋1＝0的根的判
6、别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x）只有一个零点．个人收集整理勿做商业用途判断函数存在零点的2种方法（1)方程法:若方程f（x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．（2)图象法:由f(x）＝g(x)－h(x)＝0，得g（x）＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g（x)和y2＝h（x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．［活学活用］1．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．解析：
7、∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac,b2＝ac,且abc≠0，∴Δ＝－3b2＜0，∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．∴函数f（x）＝ax2＋bx＋c无零点．答案：02．方程3x2＋6x－＝0的实根个数是________．解析:设f（x）＝3x2＋6x，g(x）＝，画出f（x)和g（x）的图象,如图所示．由f（x)和g（x)的图象的交点的个数可知，3x2＋6x－＝0的实根个数是3。答案：3函数零点性质的应用个人收集整理勿做商业用途［典例] 已知函数f（x)＝ax2－bx＋1.若b＝a＋2，且函数f（x)在（－2，1)
8、上恰有一个零点,求a的取值范围．[解］ 当a＝0时，令f（x)＝0,得x＝，符合题意．当a≠0时,∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－（a＋2）x＋1，Δ＝（a＋2）2－4a＞0，函数f(x）＝ax2－bx＋1必有两个零点，又函数f（x)在（－2,1
