第4讲整式方程(教师).doc

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1、第7讲整式方程（教师）知识点一：①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是（是正整数），这个方程叫做一元次方程;其中次数大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程。例题讲解:例题1判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?通过上述练习得出一元高次方程的特点：（1）整式方程；（2）只含一个未知数；（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容,学习简单高次方程及其解法.知识点二:二项方程:如果一元n次方程的一边

2、只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程。一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为注①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程,它的根是0。②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次。解法：对于二项方程当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n为偶数时，如果ab〈0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab〉0，那么方程没有实数根。例题分析例1、解下列简单的高次方程:（1)（2）（3）（4）例2：解下列方程（1）（2)(3）（4）例3．（1）解方程（2）在上述方程中，若y=x+1时,求x的值.（3）解二项方程：课堂练

3、习1．判断下列方程是不是二项方程:（1）；（2）；（3);（4)。2、解下列方程:(1)；（2）；（3）3．解下列方程：（1）；（2）。知识点三:双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程。注（1）当常数项不是0时，规定它的次数为0.(2）一般形式:(3）双二次方程解法:求解的思想方法是“降次",通过换元把它转化为一元二次方程。例题分析例4：解下列方程：(1）（2）例5:解方程分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把看作一个整体直接求解。例6、问题拓展(1)自主探究：不解方程,判断下列方程的根的个数:(组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）①;②;③;④。分

4、析：令①△〉0,y1y2〉0,y1+y2〉0∴原方程有四个实数根.②△>0，y1y2>0,y1+y2<0∴原方程没有实数根.③△>0,y1y2〈0，∴原方程有两个实数根。④△〈0∴原方程没有实数根。归纳：你对双二次方程的根的个数有什么发现?当△≥0时,如果y1y2<0，那么原方程有两个实数根；如果y1y2〉0且y1+y2〉0，那么原方程有四个实数根；如果y1y2>0且y1+y2〈0，那么原方程没有实数根.当△〈0时,原方程没有实数根。［说明]因为双二次方程能转化为一元二次方程,所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就

5、很容易联想到根的判别式△,结合x2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况。韦达定理在这里的应用是一个难点,可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系。课堂练习1：解下列高次方程。（1）x4+3x—10=0；（2）3x4—2x2—1=0。（3）(x2+2x）2-7（x2+2x)+12=0；（4)（x2+x）2+(x2＋x)=2；（5)(6x2-7x)2-2(6x2-7x)=3;(6)（x2+x)2—5x2—5x=6.（7）（2x2-3x+1）2+4x2—1=6x；(8）12x4-56x3+89x2—56x+12=0.　解：观察方程的系数,可以发现

6、系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同,像这样的方程我们称为倒数方程．由　　　　　　　　　　　课堂练习1．直接写出方程x(x+5）(x-4）=0的根，它们是__________________。2．解下列方程：（1)3x3—2x=0；（2）y3-6y2+5y=0。3．解下列方程：（1）2x3+7x2—4x=0;(2）x3—2x2+x-2=04．拓展：(1）（x2-x-6)（x2—x＋2)=0，(2）(x-3)（x＋2)(x2—x＋2）=0。分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”,可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代

7、换程序.(3）解方程(x—2)(x＋1）（x＋4)(x+7)=19．　　解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘,得（x2+5x—14）（x2＋5x＋4）=19．设　　　　　　则（y-9）（y+9）=19,即　y2-81＝19．　[说明］在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系,则可用换元法解之．在换元时也可以令y=x2+5x,因为换元的目的是为了降次。拓展部分是学有余力的学生选做,教师可根据学生的实际进行选择.回家作业：1、解下列方程(1）5x3=4x2；（2）2x3+x2—6x=0。[说明］只有方程整理成一边为零时，才能用因

8、式分解法解方程。2解下列方程（1）x3—5x2+x-