用转化法巧解非常规方程.doc

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1、用转化法巧解非常规方程四川省广元市宝轮中学唐明友同学们知道，解方程的方法有：消元法、降次法、去分母法等，但一些非常规方程运用上述方法却行不通，这时往往需要通过某种非常规转化,化归为已知的，熟悉的,易解的方程。下面试举几例说明。一.配方转化例1.解方程：解：①+2×②得：x+y+z+2x+4y—6z=—14整理得：(x+1)+（y+2）+(z-3)=0∴评注：方程①含有未知数的平方式,方程②含有未知数的一次式，于是考虑两方程联合配方，化为非负数的平方和等于0,从而运用其性质可解.二.裂项转化例2.解方程：++…+=1解：原方程化为：(-)+(-)+…+（-）=1∴—=

2、1,解之得：x=—5±经检验x=-5±都是原方程的解。评注：这种逆用分式通分即裂项法，可使左边消去一些项,化为简单的分式方程，再解就容易了。三.向分式方程转化例3.解方程:x+7x+14x+7x+1=0解：显然x=0不是原方程的解，因此x≠0.两边都除以x得：（x+）+7(x+）+14=0令x+=y,则原方程化为y—2+7y+14=0,解之得y=-3,y=—4当y=—3时,x+=—3，解之得：x=当y=-4时，x+=-4，解之得:x=-2±评注：本题是一元四次方程，且各项系数为1、7、14、7、1，具有对称性，两边除以x（x≠0)化为分式方程后特征明显,再运用常规换

3、元法解即可.四。平均值代换转化例4.解方程:(6x+7）(3x+4）(x+1）=6解:原方程化为：(6x+7)（6x+8）(6x+6)=72设y=[(6x+7）+（6x+8）+(6x+6）]=6x+7，代入上述方程得：y（y+1)（y-1)=72，即y—y—72=0,解之得y=9或y=-8（舍去）∴(6x+7）=9，∴x=—,x=—评注：先观察到方程左边变化后的因式特点,再运用平均值设元代换,即可化为熟悉的易解的方程。五.增元代换转化例5.解方程：x=(x+3x—2)+3（x+3x-2)-2解：设y=x+3x—2，则有①－②得：（x-y）(x+y+4)=0当x=-y

4、时，由②解得：x=—1±当x+y+4=0时，将y=—(x+4）代入②得:x+4x+2=0,解之得：x=—2±∴原方程的解为：x=—1±,x=-2±评注:解方程的通常做法是消元，这里却反其道而行之，虽然增设了一个元，但过程中的y只起到桥梁的作用，不用求出来即可解决.六。变更主元转化例6。已知：a≥2,解关于x的方程：x-3x+(4-2a)x+4ax+a—9=0解：把方程化为以a为主元的方程:a—2(x-2x)a+（x-4x+4x-9）=0即a—2(x-2x）a+(x—2x+3）（x-2x—3）=0[a—（x—2x+3）][a-（x-2x—3)]=0,∴a=x-2x+3

5、，a=x-2x-3当a≥2时，原方程的解为：x=1±或x=1±评注：此方程未知数的次数太高,无从下手,如果将常数a变更为主元，便柳暗花明了.七.倒数转化例7。解方程组：解:由题意知x≥0，y≥0，z≥0显然x=y=z=0是方程组的一组解;当x、y、z均不为0时，对各方程取倒数可得：①+②+③得:（-1）+(-1）+（-1)=0∴x=y=z=,∴经检验原方程组的解为：x=y=z=0或x=y=z=评注：根据方程左边分子分母含有相同因式的特点，各方程两边取倒数，再用前面的配方法，可顺利获得解决。八.根的判别式转化例8。解关于x、y的方程:5x—12xy+10y—6x-4y

6、+13=0解：将方程整理成关于x的一元二次方程：5x-6（2y+1)x+10y-4y+13=0△=[—6(2y+1）]—4×5(10y-4y+13）=-56(y—2）≥0∴（y—2)≤0，∴y=2,代入原方程可解得:x=3∴评注:因为是二次方程，可整理成某一未知数的一元二次方程，再运用根的判别式转化.此题还可用配方法转化，请同学们自己去思考。九.放缩转化例9。已知x≥y≥1，解方程：2x-xy—5x+y+4=0解：将方程变形为:2x-5x+4=y(x—1)∵x≥y≥1，∴2x—5x+4≤x(x-1），于是移项整理得：（x-2）≤0，∴x=2，代入原方程解得y=4∴评

7、注:先将方程化为只有右边含一个y后,再用放缩法转化，虽然变成了不等式,却奇效立现。十。逆用韦达定理转化例10。求方程=的所有整数解解：设x+y=3t，则x-xy+y=(x+y）—3xy=7t，∴xy=3t-t,∵x、y均为整数，∴t是3的倍数。由韦达定理的逆定理知，x、y是方程s-3ts+3t-t=0的两根.∴△=9t-4(3t-t）=-3t+t≥0,∴0≤t≤,则t=3∴,解之得或评注:引入参数t，用含t的式子表示出x、y的和与积,进而逆用韦达定理构造出新的一元二次方程，再求解,便是一片坦途了。十一。因式分解转化例11.求方程的正整数解：x+y——+=2011