常微分方程习题(2).doc

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1、常微分方程期终试卷（2)一、填空题30％1、形如--—----—-——的方程，称为变量分离方程,这里.分别为x。y的连续函数。2、形如——-——-—————的方程，称为伯努利方程,这里的连续函数。n3、如果存在常数-————-——-—---————-—-—对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如—-———-—-—--—————--的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解—————--—-—----——-—--—。二、计算题40％1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程

2、三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵.2。设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:（t)=(t-t）其中t为某一值.《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）12、z=34、5、二、计算题（每题10分)1、这是n=2时的伯努利不等式,令z=，算得代入原方程得到，这是线性方程,求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者,这就是原方程的解。此外方程还有解y=0。2、解：积分：故通解为:3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通

3、解为不是特征根,所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为（t）=，这时(t）==(t）故(t)是一个解.同样如果以(t）表示第二列，我们有(t)==（t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,（t-t）是基解矩阵.（2)由于为方程x=Ax的解矩阵，所以（t）也是x=Ax的解矩阵,而当t=t时,（t)（t)=E,（t—t）=（0)=E。故由解的存在唯一性定理，得（t）=(t-t)