常微分方程习题().doc

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1、常微分期末试卷(20>一．填空1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。b5E2RGbCAP2．称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x>,则经过变换，可化为伯努利方程。p1EanqFDPw3．若为其伏朗斯基行列式，则w(t>满足一阶线性方程。DXDiTa9E3d5．若为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为。RTCrpUDGiT6．如果A(t>是n×n矩阵，f(t>是n维列向量，则它们

2、在atb上满足时，方程组xˊ=A(t>x+f(t>满足初始条件xx的基解矩阵，则

3、，对应的奇点称为_______________________。xHAQX74J0X二．计算题<60分）1．2．3．求方程经过<0，0）的第三次近似解4．5/55．若试求方程组的解并求expAt6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分>设及连续,试证方程dy-f(x,y>dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.答案一.填空1.2.3.4.5.6．A(t>f(t>连续7．8。9．中X(x,y>=0,Y(x,y>=010.为0稳定中心二．计算题1．解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为5/5即另外

4、y=0也是解1．解：方程可化为令则有<*）<*）两边对y求导：即由得即将y代入<*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入<*）得：也是方程的解3．解：4．线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=05/5所以原方程的解为4．解：解得此时k=1由公式expAt=得5．解：由解得奇点<3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解<0，0）由得故<3，-2）为稳定焦点。三．证明题证明：1若该方程为线性方程则有<*）此方程有积分因子只与x有关2若该方程有只与x有关的积分

5、因子则为恰当方程,从而其中于是方程化为即方程为一阶线性方程.-5/5申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。5/5