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1、个人收集整理勿做商业用途一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法． 方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为一元二次方程． 一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法． 对于方程ax2+bx+c=0（a≠0）,△=b2—4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根,即 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即 当△＜0时,方程无实数根． 分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
2、 因为 所以 例2解关于x的方程： x2—（p2+q2)x+pq（p+q）(p-q)=0．个人收集整理勿做商业用途 解用十字相乘法分解因式得 ［x—p(p-q）]［x—q（p+q）］=0， 所以x1=p(p—q），x2=q(p+q）． 例3已知方程(2000x）2—2001×1999x—1=0的较大根为a，方程x2+1998x—1999=0的较小根为β，求α-β的值． 解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)（x-1）=0， （x+1999)(x—1）=0， 故x1=-1999
3、，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1—(—1999)=2000． 例4解方程：（3x—1)（x-1)=(4x+1)(x-1）． 分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x—1),将方程变为3x-1=4x+1， 所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根．本题正确的解法如下． 解(3x-1）(x—1)—（4x+1)（x-1）=0， （x—1)[（3x—1)-（4x+1）]=0， (x-1)(x+2)=0， 所以x1=1，x2=—2． 例5解方程：x2-3
4、x｜—
5、4=0． 分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义． 解法1显然x≠0．当x＞0时,x2-3x-4=0，所以x1=4,x2=-1（舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=—4,x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2由于x2=｜x｜2,所以个人收集整理勿做商业用途 ｜x
6、2-3｜x｜—4=0， 所以(｜x
7、-4)(
8、x｜+1)=0， 所以｜x｜=4，
9、x｜=—1（舍去）． 所以x1=4，x2=—4． 例6已知二次方程 3x2—(2a—5)x—3a-1=0 有一个根为2，求另一个
10、根，并确定a的值． 解由方程根的定义知,当x=2时方程成立，所以 3×22—（2a—5)×2—3a—1=0， 故a=3．原方程为 3x2—x—10=0，即（x-2）(3x+5)=0, 例7解关于x的方程:ax2+c=0（a≠0)． 分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论． 当c=0时，x1=x2=0； 当ac＞0(即a,c同号时），方程无实数根． 例8解关于x的方程： （m-1)x2+(2m—1)x+m-3=0． 分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m—1≠0两种情况(不能
11、认为方程一定是一元二次方程)；当m—1≠0时，再分△＞0,△=0，△＜0三种情况讨论． 解分类讨论． （1)当m=1时，原方程变为一元一次方程个人收集整理勿做商业用途x—2=0， 所以x=2． (2)当m≠1时，原方程为一元二次方程． △=(2m-1)2—4(m—1）(m-3）=12m—11． 例9解关于x的方程： a2（x2—x+1)-a（x2-1)=(a2-1)x． 解整理方程得 （a2—a)x2—(2a2—1)x+（a2+a）=0． （1）当a2-a≠0，即a≠0,1时，原方程为一元二次方程，因式分解后
12、为 ［ax-(a+1)］[（a-1）x—a］=0， （2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时,x=0；当a=1时,x=2．例10求k的值，使得两个一元二次方程 x2+kx-1=0，x2+x+（k-2）=0 有相同的根，并求两个方程的根． 解不妨设a是这两个方程相同的根,由方程根的定义有 a2+ka—1=0，①个人收集整理勿做商业用途 a2+a+(k-2)=0．② ①—②有 ka-1—a—(k—2)=0， 即（k—1）（a—1）=0， 所以k=1，或a=1． (1）当k=1时,两个方程都变为x2+x-1=0，
13、所以两个方程有两个相同的根 没有相异的根； （2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0,x2+x—2=
