一元二次方程归类讲解

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1、一元二次方程（一）（知识点一）一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。即一个一元二次方程必须满足以下三个条件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，任何一个一元二次方程都可以化为一般形式，其中ax2称为二次项，a称为二次项系数，bx称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。例1、判定下列方程是不是一元二次方程（1）3x2－4x－1=0（2）（3）x2－3y+1=0（4）(x－

2、1)(x2+x+1)=(x2－x+1)(x－1)（5）(k－1)x2+2kx－3=0例2、化下列方程为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项。（1）(2x－1)2+(5x+4)[3(x－1)－4]=x(x+1)（2）(x2－8x)m=x2－3x－15m(m≠1)（知识点二）一元二次方程的解法3、通过对方程两边直接开平方来解方程的方法，叫做直接开平方法，对于形如(ax+b)2=m(m≥0)型的方程都可用直接开平方法来解。例3、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）4(2x－3)2=25（2）(x+2)2=(

3、2x－3)2（3）(x－2m)2=4m2－4mn+n2(x为未知数)（4）(3x－1)2=－54、配方法既是解一元二次方程的方法之一，又是进行代数变形的一种重要的方法。而用配方法解方程的一般步骤如下：（1）用二次项的系数去除方程的两边，把方程的二次项系数化为1；（2）移项，方程的常数项移到方程的右边；（3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式。（4）把方程化成(x+m)2=n的形式，然后用直接开平方法求解。例4、用配方法解下列方程。（1）（2）例5、解下列各题（1）用配方法证明：－3m2+2m－5的

4、值恒小于零。（2）已知a2+b2－6a+4b+13=0，求ab的值。5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=(b2－4ac≥0)利用求根公式可解所有一元二次方程，它把根与一元二次方程的系数直接联系起来，所以公式必须记清楚，不能有任何混淆。例6、用公式法解下列一元二次方程。（1）3x2－4x+1=0（2）x2=2x－2（3）x2－(1+2)x+3+=0（4）2x2+(3m－n)x－2m2+3mn－n2=0说明：①用因式分解法解的主要步骤是将方程右边等于零后，左边分解成两个一次因式的乘积，所以不一定要将一元二次方程

5、化成一般形式，第（1）、（2）题都是这样。②在解字母系数方程时，一般都可用因式分解法来解，但对因式分解的要求较高，所以能把一个整式熟练地进行因式分解是解方程的关键。例7、用因式分解法解方程：（1）4x(x－3)－3(3－x)=0；（2）3(2x－1)2－2(2x－1)－1=0（3）x2－x－x+=0；（4）(a2－b2)x2－4abx=a2－b2(a≠±b)由前所述，一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法，解方程时，应选择最简捷的解法，一般地，先考虑能否且直接开平方法或因式分解法，然后再用公式法

6、和配方法来解。例8、用适当的方法解下列方程。（1）(3x－4)2=(4x－3)2（2）x2－8x－609=0（3）（4）(k2－1)x2－6(3k－1)x+72=0,（其中x是未知数且k≠±1）例9、解下列各题：（1）已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2－5x+3=0的根，求这个三角形的周长。（2）方程(1999x)2－1998×2000x－1=0的较大根为S，方程x2+1998x－1999=0的较小根为r，求S－r的值。【能力训练】1、选择题：（1）下列方程中是一元二次方程的是：（）A、x2-2x+y=5B

7、、C、D、（2）方程化为形式后，a、b、c的值为（）A、1，–2，–15B、1，–2，–15C、1，2，–15D、–1，2，–15（3）如果关于x的方程(m－2)x2+(m－3)x+1=0是一元二次方程，则m的值应为：（）A、2B、不等于2C、3D、不等于3（4）和x=1是方程（）的解：A、2x2+x－1=0B、2x2+x+1=0C、2x2－x+1=0D、2x2－x－1=0（5）已知关于x的方程3x2－5x+m=0的一个根是，则m与另一个根分别是：（）A、，B、C、，4D、，－4（6）已知x＝2是方程x2－2a＝0的一个解，则

8、2a－1的值是()A．3B．4C．5D．6（7）一元二次方程2x(x－3)＝5(x－3)的根为()A．x＝B．x＝3C．x1＝3，x2＝D．x＝－（8）使分式的值等于零的x是()A.6B.-1或6C.-1D.-6（9）方程x2-4│x│+3=0的解是()A.x=±1或x=±3