解超定方程组的矩阵形式为.doc

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1、第六章习题解答与问题一、习题解答1．用最小二乘法求解超定方程组解：超定方程组的矩阵形式为将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵,可得正规方程组解之,得x=2.9774，y=1。2259。2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：时间t00。91.93.03.95。0距离S010305080110在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。解：设物体运动的初速度和加速度分别为v0和a，初始时刻距离为0,则距离函数为用后5个点的数据作曲线拟合t0.91.93。03.95.0S10305080110可得，v0=10。6576，a=4.62693．用最小二乘法求一个

2、形如的经验公式，使与下列数据相拟合x1234y60302015解：令z=lny，则z=lnA+Bx。数据变换如下x1234z=lny4。09433。40122.99572.7081由最小二乘法作线性拟合得，lnA=4。4409，B=—0。4564。所以A=84.8528.故，所求经难公式为=84。25e–0。4564x。4已知实验观测数据(xi，yi）（i=1，2，…,m)。令,取拟合函数为试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数a0，a1（推导出计算公式）.解：记显然,是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y坐标值,得超定方程组将方程组两端同乘

3、以矩阵,得正规方程组记，由于系数矩阵中两个非对角元素为所以，5．对某个物体的长度测量n次后，得n个近似值x1，x2,……xm,通常取平均值作为所求长度的值.试用最小二乘法原理说明其理由。解:利用最小二乘原理,设物体的长度为x，记dk=x–xk(k=1，2，……，m)则残差平方和为为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S'（x)=0,得由此得6．求f（x）=ex在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。解：利用勒让德多项式作基函数，即P(x）=a0p0(x）+a1p1(x）+a2p2(x)+a3p3（x)，其中p0(x）=1，p1(x）=x，，利用正交性，得系数为（n=0，1,2，3)而1.

4、1752，1.1036，0。3578,0。0705所以，P(x)=1。1752+1。1036x+0.3578+0.0705=0。9963+0.9978x+0。5367x2+0.1762x37．在著名的高次插值的龙格反例中,在区间［–5，5］上的10次拉格朗日插值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导11次切比雪夫多项式零点所对应[–5，5]的上的插值结点。解：由11次切比雪夫多项式零点,得（k=0，1,2，……，10)二、例题1．已知实验数据如下：X1234Y10305080求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx22．利用数据表t–2–1012yyk—2yk

5、-1ykyk+1yk+2构造五点二次拟合函数P（t)=a0+a1t+a2t2时,需求超定方程组的最小二乘解，试列出超定方程组并导出对应的正规方程组（不用求解正规方程组）。解：超定方程组为:，正规方程组为：其中，b1=yk—2+yk-1+yk+yk+1+yk+2,b2=-2yk—2–yk-1–yk+1+2yk+2，b3=4yk—2+yk—1+yk+1+4yk+23．求区间［–1,1]上的二次正交多项式4．正交化过程5．练习题1．设B点是线段AC上的一点，记AB长为x1，BC长为x2，经测量得数据如下：AB=15.5，BC=6。1，AC=20。9试用最小二乘原理计算出x1,x2的长度.2．求a，

6、b使最小。3．利用数据表t–2–1012yyk—2yk—1ykyk+1yk+2构造五点线性拟合函数P(t）=a0+a1t时，需求超定方程组的最小二乘解，试列出超定方程组并导出对应的正规方程组。求常数项系数a0。