最新理论力学教学讲义ppt课件.ppt

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1、理论力学2.1约束2.1.1约束及其分类体系的位形：对于N个质点组成的系统，它在任意时刻的位置形状。位形可用N个质点的位矢描述也可用一组变数描述，这组变数称为坐标，坐标对时间的导数称为速度。约束通常表示为：或（约束方程或约束不等式）为了书写方便，作如下缩记约束分类：1.按约束能否脱离（解除）分类可解约束（非固执约束）：能够脱离（解除）的约束也叫单面约束不可解约束（固执约束）：也叫双面面约束不能脱离（解除）的约束例：质点被一柔绳连在一固定点上作任意运动OlOl例：质点被一刚性杆和一固定点连接2.1.2广义坐标与自由度若体系有约束存在，则n

2、个坐标可能是不独立的。这时可取一组独立参数来代替它们描写体系的位形：这组独立的参数叫作广义坐标。注：广义坐标包含了约束的信息，其作用可取代约束方程。若体系为完整系，存在k个完整约束：则独立坐标数为，它也是独立速度的数目。若体系为非完整系，假设除了k个完整约束之外，还有l个非完整约束：从以上方程还可解出l个速度，因此独立速度的数目为：体系的自由度对完整系独立坐标数等于自由度，对非完整系独立坐标数大于自由度。2.1.3虚位移与虚速度设对于质点组存在完整约束：它是3N维空间中的一个超曲面。在主动力和约束力作用下，体系的牛顿方程为目的：用约束条

3、件取代约束力R，使R不出现在运动方程中对于一大类约束，约束力矢量沿超曲面的法向方向方法：用切平面内的任意矢量与约束力R点乘，就可消去R为得到切平面内的矢量，设想在某一时刻，体系的位形在约束许可的条件下，发生一微小的变更，使变更后的位形仍满足该时刻的约束条件将上式在附近进行泰勒展开，保留到一级项这种假想的，在某一固定时刻约束所许可的位置变更叫作虚位移。虚位移方程约束的全微分为：虚位移可以看作在约束的全微分中取得到。虚位移可以看作是将时间“凝固”得到的位移。------①而满足①式的位置变更叫作可能位移，体系的实位移是可能位移的一个。当且仅

4、当约束是稳定约束时虚位移才与可能位移相同。虚位移可用广义坐标的虚变更表示为：广义坐标的这种虚变更称为广义坐标的变分。也可引入虚速度的概念，即在约束许可条件下，某固定时刻速度的微小变更：其中为广义速度的虚变更，称为广义速度的变分。2.1.4泛函及其变分当把体系的广义坐标和广义速度视为时间的未知隐函数时，函数称为变量和的泛函。和称为泛函的函数构成。泛函和普通复合函数的区别：◆泛函的宗量和是未知的，可以任意变化，t的作用只是一个参数。◆普通复合函数的宗量通常为时间的已知函数，它最终以t为宗量。设想泛函在某一固定时刻因广义坐标和广义速度的微小变

5、更而发生一个假想的变更（泛函的等时变分，简称变分）变分的运算性质：另外，由于在等时变分中时间是凝固的，它可以与时间的微分和积分交换顺序：证明：变分可以与时间的微分和积分交换顺序证：依照变分的定义：特例：速度变分与坐标变分的关系例：证明如下两个经典拉格朗日关系证：根据将上式对求偏导，得将①式对求偏导，得：---------①证毕。2.2虚功原理2.2.1虚功原理虚功：力F在虚位移下所作的功设完整系中每个质点所受的主动力和约束力分别为Fi和Ri则体系的总虚功为理想约束：如果所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零：说明：虚功只具有功的量纲，并

6、不与任何真实的能量转化过程相关。虚功原理：受理想约束的系统处于平衡状态的必要条件是系统全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零，即【补充】如果上述理想约束还是定常的，则还是系统能处于静平衡的充分条件.证明：因体系处于平衡状态，对每个质点有理想约束证明：如果约束是定常的，则真实位移是虚位移之一，则由质点组动能定理可知：因此，若系统初始时各质点静止，则以后也会保持静止，即处于静平衡。得证注：以上只是针对静平衡。否则有反例，如小球在不可伸长的绳的约束下做匀速圆周运动.虚功还可以用广义坐标来表示：定义广义力：（可理解为力在广义坐标轴上的投影）则：

7、因此虚功原理可用广义坐标表示为：因为各彼此独立，所以（完整系的平衡方程）若体系为保守系，则于是：故保守系的平衡方程可写为或应用虚功原理处理问题主要步骤：(1)判断约束类型是否满足虚功原理适用条件；(2)正确判断自由度，选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；(4)虚功原理—坐标变换方程—广义平衡方程；有势系—求V—坐标变换方程—广义平衡方程(5)求解广义平衡方程虚功方程中不出现约束力，所以不能直接用它来求解约束力。技术处理：有时可以把要求解的约束力当成主动力，并把相应的约束解除。那么就进入了虚功方程。这样就可求解该约束力了

8、。对于非理想约束体系：只要把相应于非理想约束的约束力包括在主动力中，仍可用虚功原理进行研究。例：均匀杆OA，重量为P1，长度为l1，能够在固定平面内绕固定铰链O转动。此杆的A端用铰链连一重量为P2，长度为l