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正余弦定理习题课 (2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.返回目录1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)2Rc=2RsinC 返回目录2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S△ABC=absinC==acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA 返回目录(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c;(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c.【分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.考点一正弦定理的应用 返回目录【解析】(1)由正弦定理得sinA=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.①当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,∴c=.②∵当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,∴c=.由①②知,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=. (2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理,得b=·a=4,c=·a=4+4.返回目录 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【分析】由,利用余弦定理转化为边的关系求解.考点二余弦定理的应用返回目录 返回目录【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B为三角形的内角，∴B=π. (2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.返回目录 ＊对应演练＊在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,∵a+c=4,b=,∴ac=3,a+c=4ac=3,返回目录联立解得a=1或a=3. 返回目录在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考点三正、余弦定理的综合应用 返回目录【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1. (3)由正弦定理得∴返回目录 返回目录＊对应演练＊已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)试求△ABC面积S的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab. 再由余弦定理,得cosC=,又0
