最新抽象函数的解题攻略幻灯片.ppt

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1、抽象函数的解题攻略一、对称性先看定义域，再研究f(-x)与f(x)关系：f(-x)=f(x)偶函数关于y轴对称f(-x)=-f(x)奇函数关于原点对称1.对任意x、y恒有，证明f（x）是奇函数。显然，定义域关于原点对称。令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）(*)再令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0代入（*），则f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数。原型是正比例函数2.已知函数的定义域为x≠0，在定义域内的任意x、y，都有，证明f（x）是偶函数。显然，定义域关于原点对称。令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（

2、-1）（1）令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）（2）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）（3）∴f（1）=0，f（-1）=0再代入（1）得f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数原型是对数函数本题有个简便方法：f(xy)=f((-x)*(-y))=f(-x)+f(-y)∴f(x)+f(y)=f(-x)+f(-y)令y=x，2f(x)=2f(-x)，∴f(x)是偶函数。2016年全国卷II（12）已知函数f(x)(x∈R)满足，若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2),…,(xn,yn),则因为f(-x)+f(x)=2，所以f(x)关

3、于（0，1）对称。又y=也关于(0,1)对称。根据中点公式，两个对称的点的横坐标之和/2=0，纵坐标之和/2=1。两坐标之和=0+2=2。若有交点，必然对称出现。两个交点时，坐标之和=2，那么n个交点时，坐标之和=n。f(-x)=2-f(x)二、周期性f(x)=f(x+t)(t≠0，常数）1.已知f(x)=f(x-1)-f(x-2)，求f(x)的周期解题策略：我变非我，非我变我。周期变换原则：同加同减，结果不变。f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)(1)与原式相加得f(x)=-f(x-3)(2)f(x-3)=-f(x-6)(3)f(x)=-[-f(x-6)]=f(x-6)(4

4、)两个结论：F(x+a)=F(x+b)（a≠b）周期为

5、a-b

6、F(x+a)=-F(x+b)（a≠b）周期为2

7、a-b

8、∴f(x+6)=f(x)，即周期为6。x→x-1x→x-3两个方向：简单化或者复杂化2.若，f(x)的周期=？3a3.（2009年全国卷1）函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（）。A.f(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.F(x+3)是奇函数∵f(x+1)=-f(-x+1)，f(x-1)=-f(-x-1)∴f(x)=-f(-x+2)，f(x)=-f(-x-2)(*)∴f(-x+2)=f(-x-2)∴f(x+4)=f(x)∴周

9、期为4。∴f（x+3）=f（x-1），∴f(x+3)是奇函数。1.f(x)是奇函数,f(x-2)是偶函数,则周期是()。2.（2009年四川理12）已知f(x)是不恒为零的偶函数，且xf(x+1)=(1+x)f(x)，则的值是（）。08伸伸小手：三、单调性1.对任意x、y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，判断f（x）的单调性。设x1＞x2，则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)∵x1-x2＞0，∴f(x1-x2)<0。∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1

10、)x2>0，f(x1)-f(x2)=f()-f(x2)=f()+f(x2)-f(x2)=f()因此，f(x)在（0，+∞）上是增函数。(2)易知f(x)是偶函数，等价于f(

11、2x2-1

12、)

13、2x2-1

14、)

15、2x2-1

16、<4，

17、2x2-1

18、≠0。四、导数应用1.（2015全国Ⅱ理12）设奇函数f(x)

19、满足f（-1）=0，当x＞0时，，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）。一、构建函数根据已知条件构建函数，显然可设二、研究性质，即g（x）在x>0时为减函数。f(x)、x都是奇函数，所以g(x)(x≠0)是偶函数。又g(-1)=f(-1)/(-1)=-f(-1)/(-1)=0。作出g(x)示意图。当x>0且f(x)>0时，g(x)>0当x<0且f(x)>0时，g(x)<0答案：A2.定义在R上的连续函数f（x）满足f(﹣x)+f(x)=x2，且当x＜0时，f’(x)