高考数学解题方法攻略抽象函数理

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1、化抽象为具体■抽象函数问题转化方法抽象函数是指没有给岀函数的具体解析式，但给岀了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。2005高考北京卷、辽宁卷、广东卷等各有一个抽象函数解答题，同样2006高考重庆卷、辽宁卷、安徽卷等也岀现抽象函数。化抽象为具体，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减

2、小计算量等好处。例仁设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当xE(0,5】时，f(x)是增函数斗f(2)=o求不等式xf(x)<0的解。分析：f(x)的图像如图所示x>0时2X2>X3、X4,则X1与X4,X2与X3均关于X=2对称，Xl+x2+X3+X4=

3、80二X1+X4=X2+X3=2x2=4,评注：一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，贝!J直线x二a是函数图象的对称轴,利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f即为“穿”，去掉函数符号f即为“脱”O对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。V,若f(6)=1，解不等例3已知f(x)是定义在(0,+co)上的增函数，且f(上)=f(x)-f(y)y1式。f(x+5)・f(_)<2x分析：由f(6)=1,f()=f(x

4、)-f(y)得：f(36)=f(36)-f(6)‘所以f(36)=2。而f(x+5)-yK11f(丄)v2“穿”f号得f(x+5)-f(22+Xxx)

5、)(x*0)满鬼y)=f(x)+f(y),f(6)^1(1)求证：f(l)=f(-l)=0；(2)求证：f(x)为偶函数；(3)若f(x)在(0,+吋上是增函数，解不等式f(x)+f(x+5)<2O分析：因为定义域为(-8,0)u(o,+8),所以由f(x)=logaX(0

6、x

7、理解题意较为恰当，第3)小题解不等式就可与解对数不等式类比理。(1)令x=y=1得f(1)=0,令x=y=-1得f(-1)=0；(2)令y二/得f(-x)=f(x)；(1)f(6)=

8、f(V6)+f(<6)=2•f(x)为偶函数,・.f(x)+f(x+5)=f(

9、x

10、)+f(

11、x+5

12、)=f(

13、x(x+5)

14、)

15、x(x+5)

16、<6/.~2-x却或-6-x<~5或-5<-3例4、已知函数f(x)对一切数x、y满陋)*0,f(x+y)=f(x)(y),且当xVO时，f(x)>1,求证：(1)当x>0时，0

17、)(-x)=1,•・•当时x>0时，f(・x)>1,/.01；x>0时，OVf(x)x=0时，f(x)*0,f(x)>Oo又Tf(x+y)二f(x)f(y),(x、ywR),i^Vx2,x+y=x1,x=xf(x)f(1)=f(xi-x2)>1,・f(x2)>O/.f(x1)>f(x2),因此，f(x)在xeR上是减函数。四、赋值策略使问题具体抽象函数常常以函数方程的形式出现，解决这类问题的时候让变量取蹩磁靈式，从而使问题解决，并具有一定的规權。+=•=+

18、++•••+例5•如果f(ab)f(a)f(b)且f⑴2,丽)(3)(5)fff一f(0)f(2)f(4)f(2005)f(2004)A.1002()B.1003C.2004D.2006分析：所求的是函数值分式的和，从已知式变形下(°b)f(b)知函数值商等于自变量f(a)f(2QQ5)if(2004)解.HDf(3