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1、第二轮讲练思维方法•求异思维所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式.求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点.因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性.在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面.(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步.这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景.例1已知点A(1,-1)>B(7,2),以A为圆心、8
2、为半径作0A,以B为圆心，6为半径作0B,求这两个圆外公切线交点P的坐标.E1-4【分析】如图1-4.解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标.但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境.如果能换一个角度思考，联想到公切线的交点在连心线上，即P.B、AH点共线，且黔冷(即两圆半径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解.【解】如图1-4,设MN是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP,贝A、B、P三点共线，再连结AM、BN,贝ijAM丄MP、BN丄MP・BN
3、
4、AM.从而黔粘污设
5、点BPPA的坐标为（X,y）,则由线段定比分点公式，得37--X1x==25,32-7X(-1)y=43=11-故点的坐标为（25,11）.如图1-5,直线D两点，若B、C恰好是线段2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于y=kx+b与圆xA、AD的三等分点，求k与b的值.【分析】如图1—5,解本题的自然思路是，由
6、AB
7、=
8、BC
9、=
10、CD
11、入手，先计算出
12、AB
13、、
14、BC
15、、
16、CD
17、（即用k、b表示），然后解方程组求得k、b的值.但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦.如果变换思考角度，由
18、A
19、B
20、=
21、CD
22、出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再4
23、BC
24、=^
25、AD
26、,可求出k、b的值.22【解】如图1-5,把y=kx+b代入x-y胡中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2■仁0①从而由韦达定理，得2-y2=1中，整理，得把y=kx+b代入x（1・k2）x2»2bkx-（b2+1）=02bkxA+xn=；人D[•亡
27、AB
28、=
29、CD
30、AD与BC的中点重点.bkbk解之，得k=0或b=0.2=1-b2当k=0时，方程①化为xx=±71~b3>于是
31、BC
32、=2jl・b'・方程（魏为x'
33、l+t?,・：x二±717讥于是
34、AD
35、=2jl+b?・19由己知，得
36、BC
37、=—
38、AD
39、,2Jl・b?=—j+b2.解之,得b二士—同理.当b=0吋，k=±-（二）一题多解在解析儿何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式.例3已知直线I过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）和点B（0,8）关于I的对称点都在C上，求直线I和抛物线C的方程.（1994年全国高考理科试题）2=2px(p>0),先求岀A、B【分析11设直线1的方程为y=kx,抛物线C的方程为y关于I对称的点A'、B'的坐
40、标（用k表示），再代入抛物线C的方程中，可得k、p的方程组,最后解方程组即可.【解法1】如图1-6.由已知可设抛物线C的方程为2y=2px(p>0)・tyy=kx(k丰由于直线I不与两坐标轴重合，故可设I的方程为0）・设A'、B'分别是A、B关于I的对称点，则由A'A丄I可得直线AA'的方程为y二.+任+1）将①、②联立，解得线段AA'的中点M的坐标为V2-12k于是，由中点坐标公式，可得点A，的坐标为（冷_1厂鼻）.k+1k+1同理，点B，的坐标为（器；，零甲）.k+1k+1分别把A'、B'的坐标代入抛物线C的方程中，得由③三④，消
41、去p,整理，得又由④知k>0.（6）于是解⑤.⑥,1+的T~班KA③中，得故直线啲方程为y=^x,抛物线胭方程为y2【分析2】如图1—7,设直线I的倾斜角为d,则I的斜率为JTk=tgCL・由对称性知ZA，OB，=y,从而利用三角函数的定义，可用a的三角函数表示点A~、B"的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1.fy1-7JT【解法2】如图1-7,设直线1的倾角为a（a「a/o）,则I的斜率为k.•.・
42、OA"
43、=
44、OA
45、=1,
46、OB
47、=
48、OB
49、=8,ZxOA=-(—2a),,7T7T7TZx0B=空・2(㊁・a)=2a・y,由三
50、角函数的定义，得A'的坐标为xa=
51、OA
52、cosZxOA"=-cos2a,_l-tg2a~'l+tg2ak2-lyA=
53、OA
54、sinZxOA"=-sin2axB=
55、OB1
56、cosZxOBf=8sin2CL=16kyB=
57、
