最新微分习题课课件ppt.ppt

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1、微分习题课基本概念一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．(4)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的

2、.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．其中形如(6)全微分方程注意：解法应用曲线积分与路径无关.用直接凑全微分的方法.通解为(7)可化为全微分方程形如公式法:观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．常见的全微分表达式可选用积分因子3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得特点型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方

3、程的解的结构:５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.7、欧拉方程欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)，当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.8、幂级数解法二、典型例题例1解原方程可化为代入原方程得分离变量两边积分所求通解为例2.求

4、下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式故这是一个全微分方程.例3.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:例4解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法例5解方程为全微分方程.(1)利用原函数法求解:故方

5、程的通解为(2)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为(3)利用曲线积分求解:故方程的通解为例6解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为故方程的通解为例7.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是例8.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O

6、,提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(齐次方程)例9解代入方程，得故方程的通解为特征根:例10.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:例11.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:的解.例12.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)

7、所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为例13解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为例14解