最新弹塑性力第12章教学讲义PPT课件.ppt

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1、弹塑性力第12章薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程应用广泛目录12.1问题与假设12.2直角坐标解答12.3极坐标解答12.2直角坐标解答12.2.1基本方程（1）附加假设与位移函数首先假设②可知ѡ=ѡ（x，y）根据假设①，薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线都保持互相垂直，没有剪应变，即上式对z积分，注意到ѡ与z无关，得12.2直角坐标解答其中，f1（x，y）和f2（x，y）是任意函数。根据假设③，即有f1（x，y）=f2（x，y）=0，从而可见，薄板小挠度弯曲被简化为

2、中面的弯曲问题。只要中面挠度ѡ确定，任何点的位移都可确定。12.2直角坐标解答（2）几何方程与应变分量根据上述分析，薄板内不等于零的应变分量有如下三个在小变形的情况下，和分别代表薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率，而代表在x方向和y方向的扭曲率。12.2直角坐标解答（3）本构方程与主要应力根据假设④，即在本构方程中不考虑次要应力σz，τzx和τzy，薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同12.2直角坐标解答（4）平衡方程与次要应力次要应力即τxz，τyz和σz是平衡所必须的，且可根据平衡条件来

3、确定。注意到没有x，y方向的体力，这两个方向的平衡方程为将式（12.3）代入上式得（12.4）12.2直角坐标解答上式对z进行积分，注意到如下边界条件可得其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为次要应力分量σz可根据z方向的平衡方程求得。在不及体力的情况下，该方程变为将式（12.5）代入上式得，积分上式得（12.5）（12.6）（a）12.2直角坐标解答在薄板的下面，有边界条件将式（a）代入式（b），求出f3（x，y）后再代入式（a）得（b）（12.7）12.2直角坐标解答（5）平衡方程与挠曲方程根据平衡

4、微分方程，已经用挠度ѡ表示了σz。σz在薄板上面需满足下述边界条件将式（12.7）代入式（c）得即式（12.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。从薄板中取微元体进行平衡分析，同样可推导出该公式。根据上述分析，挠度ѡ可以作为基本未知量，且薄板弯曲问题归结为：在给定薄板边缘的边界条件下求解挠曲微分方程。如果求得挠度，则板中位移、应力等均可按照前述公式计算。通常情况下需要求出薄板内力，下面推导内力与挠度之间的关系。（12.8a）（12.8b）（c）12.2直角坐标解答（6）薄板内力在x为常数的横截

5、面上，单位宽度板上正应力σx合成的弯矩Mx、剪应力τxy合成的扭矩Mxy、剪应力τxz合成的横向剪力Qx分别为在y为常数的横截面上，单位宽度板上正应力σy合成的弯矩My、剪应力τyx合成的扭矩Myx、剪应力τyz合成的横向剪力Qy分别为根据剪应力互等定理，有Mxy=Myx。将式（12.3），式（12.5）代入式（12.9），（12.10）得（12.9）（12.10）（12.11）12.2直角坐标解答将式（12.3）和（12.5）与（12.11）进行比较，可以得到用内力矩表示的薄板应力其中，J=h3/1

6、2即单位中面长度的截面对中面轴线的惯性矩。（12.12）12.2直角坐标解答12.2.2边界条件现以图12.2所示的矩形薄板为例，说明各种边界的边界条件。假定该板的OA边固定，OC边简支，AB边和BC边自由。（1）固定边（几何边界条件）沿着固定边OA,薄板的挠度等于零，弹性曲面的斜率也等于零，即（2）简支边（混合边界条件）沿着简支边OC，薄板的挠度等于零。如果有外加弯矩作用，则注意到式（12.11）有挠度在整个边界上都等于零，也在整个边界上等于零，故上式成为如果外加弯矩，则（12.13）（12.14b

7、）（12.14a）12.2直角坐标解答（3）自由边（静力边界条件）沿着自由边，例如AB边（y=b），薄板的弯矩My、扭矩Myx、横向剪力Qy均应等于零，即然而，根据微分方程理论，挠曲微分方程（12.8）为四阶椭圆型偏微分方程，在每个边界上只需要提供两个边界条件。早在1850年Kirchhoff建立前述薄板弯曲的近似理论时，就通过变分法证明了每边两个边界条件足以解决方程（12.8）的解，而扭矩和横向剪力须合为一个边界条件。学者们后来的研究表明，边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力（图12.3），与原来

8、的横向剪力归并为一个条件，即这样，自由边边界条件为注意到式（12.11）上式成为（12.15）12.2直角坐标解答必须指出，不能精确满足每边应有的三个边界条件是薄板弯曲理论的不足之处，它与导出基本方程时引入的直线法假设有关。此外，用等效剪力代替扭矩后，在两个自由边的交点B处将出现未低效的集中剪力通过式（12.11），B点的角点条件RB=0为当自由边与简支边或固定边相邻时，集中力将被反力所吸收，不需要列条件。此外，如果在B点有支柱阻止挠度发生，则上述条件应