弹塑性力学讲义3(1).ppt

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1、二、应力分析1、一点应力状态2、应力坐标变化，应力张量3、主应力，应力张量不变量4、主剪应力、最大剪应力5、球应力分量和偏差应力分量6、主应力图、主偏差应力图问题1：如何确定变形体中任意一点的应力状态呢？问题2：过点P可做无数个平面，每个平面上应力矢量可分解为3个分量，这样一点的应力分量可以有无穷多个，应力张量是否唯一地决定了一点的应力状态？1、一点应力状态四面体素构造：1、选定坐标轴；2、过该点垂直坐标轴截取三个相互垂直大截面；3、与坐标轴成任意截取的第四个截面1、斜面ABC的面积为dS，坐标面OBC(x面)的面积为dSx；坐标面

2、OAC（y面）的面积为dSy；坐标面OAB（z面）的面积为dSz2、斜面外法向为n，它与x，y，z坐标夹角的方向余弦为(l,m,n)：cos(n,x)=l;cos(n,y)=m;cos(n,z)=n3、dSx=dS·l；dSy=dS·m；dSz=dS·n；nnSnzSnySnxS四面体素构造之后，整个变形体处于力平衡状态，则所构建的四面体素也必须满足力平衡条件。即：∑X=0∑Y=0∑Z=0则有：∑X=0∑Y=0∑Z=0这就是斜面应力公式，也称之为柯西应力定理（Chauchy）。nySnnSnzSnxSστ则：应力Sn在法线n上的投影

3、即为正应力σn，所以由以上分析可知：只要知道了过点P的3个坐标面上的9个应力分量，则过点P的任意平面上的面力矢量或面力分量，可以由这9个分量求出。因此，是一点应力状态的唯一的、全面的描述。如果所取的坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的微分面上的剪应力为0，则有则有2、应力坐标变化，应力张量应力张量由过点P的坐标面上的应力分量的全体表示，坐标系是人为选择的，应力状态的唯一性意味着，坐标变换时不同坐标系的应力分量之间有确定的变换关系。旧坐标系中的应力张量新坐标系中的应力张量xyzx/cos(nx’,x)=l1cos(nx’,y)=m1cos(

4、nx’,z)=n1y/cos(ny’,x)=l2cos(ny’,y)=m2cos(ny’,z)=n2z’cos(nz’,x)=l3cos(nz’,y)=m3cos(nz’,z)=n3新旧坐标系之间夹角的方向余弦令新坐标轴与微分斜面的外法N线相合,此时则可确定将其投影到，得到沿方向的正应力而这时在上的投影，就是微分斜面的两个剪应力变形体中一点的应力情况或状态不会因为选择不同的坐标体系而改变，因而其应力张量也不会因为坐标轴的转换而改变，此即为应力张量不变性，但其中应力张量分量会有所变化3、主应力，应力张量不变量一般情况下，应力矢量并不垂

5、直于它的作用面，因此在该作用面的法线方向和该平面内都有分量。如果过P点的某一投影面上应力矢量垂直该平面，因此它在该平面内的分量，即剪应力τ为零，则这样的平面称为主平面，该平面的外法线方向称为主方向，主平面上的应力矢量称为主应力。SnxSnySnz主应力Sn=σ则：Snx＝σlSnx＝σmSnx＝σn同时考虑：解此线性方程：则必须有：展开此行列式应力张量不变量的意义：I1—平均应力I1的数值I1＝0I1>0I1<0体积变化V＝0V>0V<0对多孔材料的压实无效果反效果效果好塑性反映材料自身塑性偏低偏高作用在工具上单位力的绝对值小

6、较大大或很大主应力具有以下四个重要性质：一、不变性从数学上看，由于特征方程的三个系数是不变量，因此作为特征根的主应力在坐标变换时，其值不变，即主应力是不变量。从物理上看，主应力是物体受力时内部应力状态的客观性质，与选择的坐标系无关。二、实数性按照线性代数，主应力是特征根，与每个主应力对应的主方向是特征向量。由于应力张量是对称矩阵(*应力张量的对称性后面再证明，此处先将它作为一个假设接受下来)，其中的每一个元素都是实数。线性代数告诉我们，实对称矩阵的特征根是实数，因此主应力是实数。三、正交性四、极值性昆明理工大学材料与冶金学院胡劲实数

7、性证明：假如σ1、σ2是方程的一对共轭的虚根，则有假设主应力的一对共轭虚根σ1，σ2为相应的特征向量也是共轭的，可以假设为正交性证明：假设主应力为σ1、σ2、σ3，对应主方向分别为l1、m1、n1；l2、m2、n2；l3、m3、n3。若这表明三个主方向相互垂直。主应力的极值性假设并取应力主轴与坐标轴方向一致，则任意微分斜面上的正应力则有由于后两项都大于或等于0，所以同理，得到二、应力分析4、主剪应力、最大剪应力取坐标系的三个主轴与主应力方向平行，斜面方向余弦为l、m、n图12SnzSnySnx当斜面法向方向改变时，剪应力也随之变化，

8、取极值的条件是:由于和l，m，n不全为零，（1）若：l=m=0则：n=±1此即为主应力面，剪应力为0。（2）若：l≠0，m=0（3）若：m≠0，l=0（2）若：l≠0，m≠0综合以上的讨论，总结如下：l00±10m0±100n±100