最新利用导数判断函数的单调性教学讲义PPT.ppt

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1、利用导数判断函数的单调性（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u.用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，f’(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，f’(x)<0，则f(x

2、)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；若在某个区间内恒有则为常数例1．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？D解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速

3、快，符合实际，应选D。例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f’(x)＜0，f(x)是减函数.例3:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1

4、(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:(1):求导数(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.例4．证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，∵x>0，∴x2>0，∴－＜0.即f’(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间.解：y’=[x2(1－x)3]’=2x(1－x)3+x2·3

5、(1－x)2·(－1)=x(1－x)2[2(1－x)－3x]=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵x=1为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C2．设f(x)=x＋(x<0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)

6、(－，0)C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数C4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是.(kπ,kπ+),k∈Z6．函数y=的单调增区间是.(0，1)7．证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。证明：f’(x)=(cosx)’=－tanx.当x∈(－,0)时,－tanx>0,即f’(x)>0,∴函数f(x)=

7、ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。8．当x>1时，证明不等式：证明：设f(x)=显然，f(x)在[1，∞)上连续，且f(1)=0．f’(x)=∵x>1,∴>0，于是f’(x)>0.故f(x)是[1，+∞)上的增函数，应有：当x>1时，f(x)>f(1)=0，即当x>1时，五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内>0(<0

8、)只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.6.利