利用导数判断函数的单调性教案

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1、§1.3　导数的应用1.3.1　利用导数判断函数的单调性【学习要求】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递_增__f′(x)<0单调递__减__f′(x)＝0常函数探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系问题

2、1　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答：(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y(x)是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y(x)是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y(x)是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y(x)是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y(x)是减函数．小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，

3、那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．问题2　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答：由问题1中(3)知f′(x)≥0恒成立．问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答：(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．问题1中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当

4、10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解：　当10，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．小结　5/5本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函

5、数f′(x)图象的大致形状．解　f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－4x2＋x－1；(2)f(x)＝2x(ex－1)－x2；(3)f(x)＝3x2－2lnx.解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋1.令3x2－8x＋1>0，解此不等式，得x<或x>.因此，区间和为f(x)的单调增区间．令3x2－8x＋1<0，解此不等式，得0；当x∈(－1

6、,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴0

7、x)>0和f′(x)<0)；(4)用f′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间．跟踪训练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x<2π)解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(

8、－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)