利用导数判断函数的单调性(理

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1、3.2利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1.函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在这个区间内为减函数。（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果函数y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内0；如果函数y=f(x)在这个区间内为减函数。那么在这个区间内0。2.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的定义

2、域；②计算导数，令，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；③把函数的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把的定义域分成若干个小区间；④确定在各个开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间的增减性（若>0,则f(x)在相应区间内为增函数；若<0,则f(x)在相应区间内为减函数。）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f’(x)>0（或f’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（

3、a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是，x恒成立，且f’(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f’(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数

4、的取值范围确定。2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0，解不等式得x的范围就是递增区间；③令f′(x)＜0，解不等式得x的范围，就是递减区间。3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。直击考点第9页共9页考点一求不含参数的函数的单调区间考例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－

5、x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)其函数的大致图像如下图：锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是，而1。举一反三：1.函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．答案：C2.(05

6、年广东高考题)函数是减函数的区间为()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）答案：D解析：第9页共9页考点二求含参数的函数的单调区间考例2．（06山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数

7、进行分类讨论.举一反三：（06山东卷）设函数f(x)=(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.解：由已知得，令，解得.（Ⅰ）当时，，在上单调递增当时，，随的变化情况如下表：0第9页共9页+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值.当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.考点三利用导数证明不等式考例3.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f

8、(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞