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1、初等数论不定方程2、主要研究问题 a.不定方程有解的条件 b.有解的情况下，解的个数 c.有解的情况下，如何解3、本章学习内容(1）二元一次不定方程（2）多元一次不定方程（3）勾股数组（4)费马大定理简介(5)几类特殊的不定方程证：把代入不定方程成立，所以是方程的解。又设是不定方程的任一解，又因为是一特解则有,即有有因为令即得到了方程的解。方程有解情况下不定方程的解法（1）观察法：当a,b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解，然后用得到其所有解。2、公式法：当a,b的绝对值较小时，可用公式得到特解然后用公式写出一切解。为a,b作辗转相除时不完全商(见书)3、整数
2、分离法：当a,b中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复，直到一个参数的系数为1.从而得到不定方程的解。4、化为同余方程（同余方程中再讲）注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.例1：求解不定方程解：因为（9，21）=3，3
3、144所以有解；化简得考虑,有解所以原方程的特解为，所以方程的解为注：解的表达式是不惟一的例2、用整数分离法解解：因为（107，37）=1，所以有解；故故§2多元一次不定方程2.1定义：形如的不定方程多元一次不定方程。2.2定理有解的充要条件是证：必要性，若不定方程有解,则有由。
4、充分性：用数学归纳法(n=2）时已证假设对n-1时条件是充分的，令则方程有解，设解为又有解，设为,这样就是方程的解。注：从证明过程也提供了方程的解法。则等价于方程组设先解最后一个方程的解，得然后把其代入倒数第二个方程求得一切解，如此向上重复进行，求得所有方程的解。例1：求不定方程的整数解.解因为（25，13）=1，（1，7）=1
5、4，所以方程有解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的解为t=4-7u，z=u。因为25*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1的特解为=-1，=2故25x+13y=t的解为x=-t-
6、13v，y=2t+25v所以的解为x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v为整数。§3勾股数定义：一般地称x2+y2=z2的正整数解为勾股数例（3，4，5），（5，12，13）（8，15,17）为勾股数x2+y2=z2方程解的分析（1）若x，y，z是方程解，则dx，dy，dz也是方程解（2）由（1）只要考虑（x，y，z）=1的解即可，而实际上只要（x，y）=1即可，假设（x，y）=d，则d
7、x，d
8、y，则有d
9、z（3）由（2）可设（x，y）=1，则x，y为一奇一偶。若x，y都为奇数，则z为偶数，则方程左边为4K+2，右边为4K，矛盾。所以x，y为一
10、奇一偶。由上分析，我们对（x,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。即可假设在x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的条件下给出x2+y2=z2的通解公式。定理：在条件x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的条件下x2+y2=z2的通解公式为x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。为了证明定理的结论，先给出下面引理。引理：设u>0，v>0，（u,v）=1，则不定方程uv=w2的解为u=a2，v=b2，w=ab其中a>0，b>0，（a,b）=1。证：设u，v，w是方程的解，令不含平方数，又（u，v）
11、=1，不能被整除.故所以u=a2，v=b2，w=ab。a>0，b>0，（a,b）=1下面进行定理的证明.定理的证明：x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0,(a,b)=1，a,b一奇一偶。显然是方程x2+y2=z2的解，满足x>0，y>0，z>0，2∣x，且设（x，y）=d，则有由（a，b）=1，有d=1，或d=2,又由y为奇数，所以d=1。设x，y，z是满足条件的一组解，由2
12、x，及（x，y）=1知y，z是单数，有且因为设则有d
13、z，d
14、y，因而有d
15、x，所以d=1于是由引理令于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>0,b>0,(a,
16、b)=1由y>0,知a>b>0,又y单，所以a,b一奇一偶。推论：单位圆上的有理点可写成证：由两边同除有，令所以有即为单位圆的方程而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可交换即有例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。证：设N=3m1，（m为整数），则=3k+1设中，若x，y都不是3的倍数，都是3K+1，则其和为3k+2。不可能是平方数，所以是不可能的。§4费尔马大定理和无穷递降法1、费尔马大定理：不定方程xn+yn=zn，n≥3无正整数解。由于一个大于2的整数n，
