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《初等数论第二章：不定方程课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有第二章不定方程一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。这是一个三元不定方程组问题。1969年，莫德尔较系统地总结了这
2、方面的研究成果。近年来，这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。第一部分二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：②有解时决定解的个数。①判断何时有解。③求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。注
3、：定理的证明过程实际给出求解方程（2.1）的方法：推论1如果(a,b)=1,那么方程(2.1)有整数解.推论2如果c不能被a,b的最大公约数整除,那么方程(2.1)无整数解.例2.1判断下列方程有无整数解. (1)16x-37y=7(2)3x+6y-12=0 (3)2x+6y-1=4§2.2解二元一次不定方程对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研究,最理想的结果是能像一元二次方程那样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式.这个公式是能够找到的,但它是建立在方程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个整数解就成
4、为求出它一切整数解的关键.根据定理2.1,我们讨论方程(2.1)的一个整数解的求法时,我们可以假定(a,b)=1,否则方程(2.1)两边同除(a,b),从而使x,y的系数互质(这时(a,b)
5、c).1、辗转相除法对于ax+by=c,先利用辗转相除法得到ax+by=1的一个解;再两边乘于c,得到ax+by=c的一个解;最后运用定理(2.2)写出一切整数解.注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，且a大于b，因此求解此方程时可以考虑用变量替换。下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整数分离法,用这个方法求不定方程
6、(2.1)的一个整数解的一般步骤是:(1)变形:令系数绝对值较大的未知数为k(k表示整数)通过对方程变形,用k表示的代数式来表示另一个未知数;(2)分离:把(1)中的k的代数式所包含的关于k整系数的整式分离出来,使它成为关于k的一个一次式与一个分工之和;(3)观察估算:通过估计k的取值,使分式的值为整数,由此可得不定方程(2.1)的一个整数解.先用整数分离法求出一个解或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程用辗转相除法，依次化为等价的不定方程，直至得到一个变量的系数为正负1的方程为止。这样的不定方程可以直
7、接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小余数。下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，它的非负解和正解问题。由通解公式知这可归结为去确定参数t的值，使x,y均为非负或正。通过观察得到x=1,y=5是原方程的一个整数解.从而得到它的通解为解不等式组例7、求方程5x+3y=52的全部正整数解解：x=8,y=4是一组特解，方程的全部解为：x=8+3t,y=4-5t正整数解满足8+3t>0,4-5t>0第一部分二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：②有解时决定解的个数。①判断何时有解。③
8、求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。§2.3二元一次不定方程的应用在这一节里,我们将讨论两个方面的问题,一个方面是关于某些不定方程或不定方程组,通过换元或者消元,转化为二元一次不定方程.通过解二元一次不定方程,得到原方程(或方程组)的整数解;另一方面是运用二元一次不定方程解决某些实际问题,并通过一些具体实例来说明二元一次不定方程在小学教学中的应用.换元
9、第二节多元一次不定方程注：定理1的证明给出了n元一次不定方程的解法过程：即求解方程组（由n-1个方程组成）解：原方程化为
10、：进一步可求非负整数解：由通解公式给出非负整数解中m,k应满足第三节勾股数②再证
