第3章-系统预测5(马尔科夫预测法).ppt

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1、马尔科夫预测法马尔科夫方法的基本原理案例分析☆10A1马尔科夫预测法马尔科夫预测法是预测技术中一种重要的方法不需要大量的统计资料，只需近期资料就可进行预测，既可用于短期预测，也可用于长期预测2马尔科夫方法的基本原理1、基本概念2、状态转移概率矩阵3、稳态概率矩阵3【引例】假设一片树林里共有n棵树，一只松鼠随机地从某棵树跳到另一棵树。我们可以把松鼠的运动看作是一个随机运动系统。在时刻t，松鼠所在的那棵树，可称为松鼠所处的状态，n棵树则表示共有n个状态。由此，可以引出以下概念。基本概念4基本概念(1)随机运动系统如果系统在任何时

2、刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程，这个系统就是随机运动系统(2)状态随机变量为了表示一个随机运动系统在变化过程中的状态，可以用一组随时间过程而变化的变量来描述，这个变量称为状态随机变量5设有一个随机运动系统处于的状态为i(i＝1,2,…,n)，它只能在时刻t(t＝1,2,…,m)上改变它的状态，则状态随机变量系统所取状态的集合，称为状态空间即表示在时刻t，系统处于状态iXt＝i6马尔科夫发现：对于实际存在的随机运动系统系统在每一时刻(或每一步)的状态，仅仅取决于前一时刻(或前一步)的状态，而与过去的其它状态无关

3、。这个性质称为无后效性例如，松鼠下一步将处于什么状态(将跳到哪棵树上)，只与它现在所处的状态(现在所处的那颗树)有关，而与它以前的状态(以前曾在的树)无关具备无后效性的离散型随机过程，称为马尔科夫链，简称马氏链，或称时间和状态均离散的马尔科夫过程(3)马尔科夫链7基本概念(4)状态转移即状态变化。当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而实现了状态转移。(5)转移概率系统状态的变化（转移）是随机的，用概率来描述系统从某种状态转移到各种状态的可能性大小，这种概率称为状态转移概率，简称

4、转移概率8转移概率中最重要的是一步(次)转移概率，表示为其中：pij(1)—表示系统从状态i到状态j的一步转移概率，“(1)”表示一步；pij—表示系统从状态i经过一步转移到状态j的概率；P(Xm+1=j

5、Xm=i)—表示在时刻m的系统状态为i的条件下，转移到（发生）在时刻m+1的系统状态为j的条件概率马尔科夫链的任何k步转移概率都可由一步转移概率求出9若系统有n个状态，则系统全部一步转移概率的集合所组成的矩阵，称为一步状态转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵(1)一步状态转移概率矩阵表示为10①pij0i,

6、j=1,2,…,n②满足①、②这两个性质的行向量称为概率向量，由概率向量构成的方阵称为概率矩阵转移矩阵必是概率矩阵状态转移概率矩阵的性质③如果A和B均是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；④如果A是概率矩阵。则An也是概率矩阵。11状态转移概率矩阵一般是指一步状态转移概率矩阵实际工作中往往需要预计今后第k个时刻系统的状态，需要求出系统的k步状态转移概率矩阵(2)K步状态转移概率矩阵记k步状态转移概率矩阵为P(k)，则即系统的k步状态转移概率矩阵可由k-1步状态转移概率矩阵乘上一步状态转移概率矩阵求得，也可由一步状态转移概率矩阵的k

7、次方求得12例若则13定义：一个概率矩阵P，若它的某个m(m为正整数)次方Pm的所有元素都为正数(即无负数和0)，则称P为正规概率矩阵。稳态概率矩阵(1)正规概率矩阵例判断下列矩阵是否为正规概率矩阵。①②14所以，是正规概率矩阵。解：所以，不是正规概率矩阵。①因为②对于任何正整数m，都有15定义：任一非零概率向量u=(u1,u2,…,un)，乘以概率矩阵P后，其结果仍为u，即(2)固定概率向量则称u为P的固定概率向量（或特征向量）uP=u例如因为所以，u是P的一个固定概率向量。16设P是正规概率矩阵，则已被证明：①P恰有一个

8、固定概率向量u，且u的所有元素都是正数②P的各次方组成的序列{P,P2,P3,…}趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向量。③若pi为P的任一概率向量，则向量序列{piP,piP2,piP3,…}都趋于固定概率向量u。(3)正规概率矩阵的性质17若马氏链的状态转移矩阵为正规概率矩阵，当转移步数k足够大时，k步转移矩阵将趋向某一方阵T，即(4)稳态概率矩阵则称方阵T为稳态概率矩阵。根据定义很难求出稳态概率矩阵T。但由正规概率矩阵的性质可知，稳态概率矩阵T的每一个行向量都是固定概率向量u。因此，求出状态转移矩阵的固定概率向

9、量u，可以进而得到稳态概率矩阵T18例求下列正规概率矩阵的稳态概率矩阵T解：因为所以P为正规概率矩阵。19第—步，先求固定概率向量设P的唯一固定概率向量为根据固定概率向量的定义有即①②③20根据概率向量的定义有得到将u3代入①式得将u1、u3代入②式得所以21第二步，求稳态概率矩阵T根据正