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1、§6---重积分的应用一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域,在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程所表示的曲面S的面积.(1)对区域D作分割T，把D分成n个小区域.这个分割相应地将曲面S也分成n个小曲面片(2)在每个上任取一点,作曲面在这一点的切近用切平面代替小曲面片从而当充分小时,有,并在上取出一小块,使得与在平面这里分别平面上的投影都是(见图21-38).在点附解据曲面面积公式,其中D是曲面方程例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.故是表示，其中在D上具有连续的一阶偏导数,且若空间曲面S由参数方程参数曲面的面积公式则曲面S在点的法线方向为记与轴夹角的余弦则为其中当时,对公式(2)作
2、变换:则有由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：例2求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积（图21-39中阴影部分).解设球面的参数方程为:其中R是球面半径.这里是求当时球面上的面积.由于所以由公式(5)即得所求曲面的面积:注在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程（如菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中译本第三卷第二分册).的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.*例3设平面光滑曲线的方程为的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似在上册的定积分应用中，曾用
3、微元法给出过旋转面求证此曲线绕轴旋转一周得到的旋转面的面积为证由于上半旋转面的方程为因此不妨设则二、重心设密度函数为的空间物体V，在V上连续.为求得V的重心坐标,先对V作分割T,是小块的质量可用近似代替,若把每一块看作质量集中在的质点时,整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为在属于T的每一小块上任取一点于的重心坐标:当物体V的密度均匀分布时,即为常数时，则有当自然地可把它们的极限定义作为V同样可以得到,密度函数为的平面薄板D的重心坐标:当为常数时，则有例4求密度均匀的上半椭球体的重心.解设椭球体由表示.借助对又由为常数,所以称性知道由§5例5已知故得即求得上半
4、椭球体的重心坐标为三、转动惯量A的质量,r是A与l的距离.现在讨论空间物体V的转动惯量问题,我们仍然采用前面的办法,把V看作由n个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得V的转动惯量.设为V的密度函数,它在V上连续.照例对V作分割T,在属于T的每一小块上任取一点质点A对于轴l的转动惯量为其中m是质点系对于x轴的转动惯量是令上述和式的极限就是V对于x轴的转以近似替代的质量.当以质点系近似替代V时,动惯量:类似可得V对于y轴与z轴的转动惯量分别为同理,物体V对于坐标平面的转动惯量分别为同样地,平面薄板D对于坐标轴的转动惯量为其中为D中点到l的距离.平面薄板D对于轴l的转动惯量为例5求密度均匀的圆
5、环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量(图21-40).解设圆环D为密度为则D中任一点与z轴的距离平方于是转动惯量为为例6求均匀圆盘D对其直径的转动惯量(图21-41).解设圆盘D为密度为,求对于y轴的转动惯量.由于D内任一点与y轴的距离为故其中为圆环的质量.其中m为圆盘的质量.例7设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量.解设球体由不等式表示;密度函数为k为比例常数;取切平面方程为则球体对于此平面的转动惯量为经详细计算,可得四、引力求密度为的立体V对立体外单位质点A的引力.设A的坐标为V中点的坐标用表示,现用微元法来求V对A的引力.V中质量微元对A的引力在坐标轴上的
6、投影为于是,力F在三个坐标轴上的投影分别为其中k为引力系数，例8设球体V具有均匀的密度试求V对球外一点A的引力(引力系数为k).显然有解设球体为球外一点A的坐标为所以其中第13章全等三角形13.3.3等腰三角形的判定巩固复习：等腰三角形有哪些性质特征？1.从边看：等腰三角形的两腰相等.（定义）2.从角看：等腰三角形的两个底角相等.（“等边对等角”）.3.从重要线段看：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.（“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形ABC┓思考：等腰三角形的两底角相等，反之有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗？ABC探究新知：思考：如何判定一个三角形是等腰三角
7、形？根据定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。ABC探究新知：求证：AB=AC证明：作AD⊥BC．垂足为点D∵AD⊥BC.∴∠ADB＝∠ADC=90°在△BAD和△CAD中，∠ADB＝∠ADC∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB＝AC（全等三角形的对应边相等）┓D还有别的方法可以选择吗？发现新知：等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理:如果一个三
