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1、8.6几何中的应用复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因机动目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束则在点切线方程法平面方程有或机动目录上页下页返回结束也可表为法平面方程机动目录上页下页返回结束例2.求曲线在点M
2、(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.机动目录上页下页返回结束上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:机动目录上页下页返回结束在上
3、,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束例4.确定正数使曲面在点解:二曲面
4、在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结机动目录上页下页返回结束切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点
5、为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此作业P452，3，4，5，8，9，102.设f(u)可微,第七节目录上页下页返回结束证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题机动目录上页下页返回结束2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动
6、目录上页下页返回结束二次函数二次函数y=a(x-h)2的图象和性质茶城中学数学教研组学习目标会找y=a(x-h)2型函数的相关元素。理解y=a(x-h)2型函数的性质自学指导阅读教材p教材，填表：y=a(x-h）2a>0a<0图象开口对称轴顶点增减性8分钟后看谁做得又快又好。自学检测画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？（1）y=2(x-3)2（2）y=−2(x-2)2归纳总结一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:（1)对称轴是x=h;（3）抛物线y=a(x－h)2可以由
7、抛物线y=ax2向左或向右平移
8、h
9、得到.(2)顶点是(h,0)h>0，向右平移;h<0，向左平移顶点是(h,0)当堂检测1、若将抛物线y=-2(x-2)2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位课堂作业名校课堂：第23，24页必做题：基础题中档题选做题：综合题教材第41页第5题课后作业
