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1、个人收集整理勿做商业用途第五章空间解析几何一、学习要点：1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；4。掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程;5。知道空间一点到平面的距离公式；6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上); 8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面,椭球面方程及图形。二、相关知识总结:1。空间直
2、角坐标系的建立及其空间点的直角坐标。2。空间直角坐标系中任意两点间的距离公式：。3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示。4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算。5.空间向量模的坐标表示：设向量,其模,向量的单位向量：.6.向量的数量积：对于给定的向量，,数称为向量和的数量积,记作。7。向量的向量积:两个向量和的向量积是一个向量，记作，它的模和方向分别定义为:个人收集整理勿做商业用途(1）；（2）垂直于和，且，，成右手系.8。数量积、向量积的坐标运算法:设,，则，。9。两向量垂直、平行的条件及判定:（1）两向量与的对应坐
3、标成比例；（2）两向量。10。方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设，则向量的方向余弦：，，且。投影公式：。11.空间曲线的一般方程：。个人收集整理勿做商业用途12。空间曲线的参数方程：（为参数)。13。空间曲线在坐标平面内的投影：——①①消去得，则是曲线①在坐标面面上投影。同理，和是曲线①分别在面和面上的投影.14.平面的点法式方程：是平面的一点，是该平面的法向量，则此平面的方程为：。15.平面的一般式方程:（,，不能同时为）.16。平面外一点到平面的距离的公式：则有：.17.平面和平面的夹角为：（)的法向量和的法向量则有
4、：.18。直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法。一般式，对称式,参数式(为参数），三种方程形式的相互转化。19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：个人收集整理勿做商业用途设直线和直线的方向向量依次为：，，若两直线垂直有:；若两直线平行有:;若两直线相交有:，。20.空间直线与平面的位置关系：设直线的方向向量，平面的法向量，直线与平面垂直有：;直线与平面平行有：;直线与平面的夹角（）由下列公式给出：.三、重点例题剖析（一）基础题1。一向量与轴正向，轴正向的夹角相等．与轴正向的夹角是前者的两倍,求与向量同方向的单位向
5、量．【分析】 与向量同方向的单位向量就是以向量的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量的方向余弦．解 设向量与轴正向、轴正向的夹角为,则它与轴的正向夹角为，那么,的方向余弦分别是，，．故即 由此得到 或又 ，或，则 ，，或，，,个人收集整理勿做商业用途因此，所求的单位向量为 或．2.设，，求对应的单位向量及的方向余弦．解 与对应的单位向量是与方向相同的单位向量．因此同上，可求出与方向相同的单位向量：从而，的方向余弦为：，，．3.设未知向量与共线，且满足，求．解(方法1)由于与共线，故设 故 ．（方法2)由于
6、与共线，故可设，则故 ．4.已知向量，，满足,证明：。证 ,5。已知三角形三个顶点坐标是，，，求的面积．【分析】 以向量，为邻边的三角形的面积．解 由向量积的定义，可知的面积为：由于，，因此个人收集整理勿做商业用途．6.指出下列二次曲面的名称，并作草图．(1); (2）；(3）； (4）．【分析】 对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．解 (1）可以将方程写成如下的标准形式：该方程表示单叶双曲面,其草图如图5—1；图5-1(2）方程可写成如下的标
7、准形式：该方程表示双叶双曲面,其草图如图5—2；图5—2（3）方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5—3；个人收集整理勿做商业用途图5-3（4)方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面的图形平移到使锥面的顶点为时得到的．其草图如图5-４；图5-４7.一动点到平面的距离等于它与轴距离的两倍，又点到的距离为，求动点的轨迹方程．解 设点的坐标为，则到平面的距离为．到轴的距离为,由题设条件，有，即,又到的距离为l，即动点的轨迹方程满足：注 此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定
8、动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个,则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．8.求二次曲面与三个坐标平面的交线．解 求解空间曲面与坐标平面的交线
