《高数空间解析几何》PPT课件

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1、曲面讨论的两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知方程F(x,y,z)=0，研究这方程的图形；二、旋转曲面定直线L称为旋转轴.一条平面曲线C绕其平面上一条直线L旋转所形成的曲面，称为旋转曲面.绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.建立yoz面上曲线C:f(y,z)=0设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点P(0,0,z)，交曲线C于点M0(0,y0,z0).显然xyzO因为M0在曲线C上，故f(y0,z0)=0即得C绕z轴旋转的旋转曲面方程:同理,C绕y轴旋转的旋转曲面方程:CM0.P.ML直线L绕另一条与L相交的直线旋转所成的

2、旋转面叫圆锥面圆锥面的顶点,圆锥面的半顶角a(0

3、程三、柱面曲线C称为柱面的准线，平移的动直线L叫柱面的母线.动直线L沿给定曲线C平移所形成的曲面称为柱面.LC方程f(x,y)=0在xoy平面上表示一条曲线C在Oxyz空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面SxyzO设xOy平面上点N(x,y)在曲线C上,即f(x,y)=0过N作z轴平行线l,则l上的点M(x,y,z)满足空间坐标系Oxyz中的三元方程f(x,y)=0反之亦然因此方程f(x,y)=0在oxyz空间坐标系中表示由平行z轴直线l沿曲线C平移所成曲面.M.N平行于z轴的直线为母线的柱面.方程f(x,y)=0在空间表示以xoy坐标面上的曲线为准线，类似地，方程f(y,z)=

4、0在空间表示以yoz坐标面上的曲线为准线，平行于x轴的直线为母线的柱面.方程f(x,z)=0在空间表示以xoz坐标面上的曲线为准线，平行于y轴的直线为母线的柱面.简单地说，平面坐标系中的曲线方程在空间坐标系中就表示柱面--举例椭圆柱面：xyzOxyzO平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的椭圆为准线、平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xoz坐标面上的椭圆为准线，xyzO2xyzO双曲柱面平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的抛物线为准线、平行于z轴的直线为母线.xyzO抛物柱面x2=ayxoy坐标面上的抛物线为准线、三元二次方程平面称为一次曲面．截痕法：曲面形状已知

5、平行截面面积可计算体积;已知平行截面形状可掌握曲面形状．四、二次曲面所表示的曲面称为二次曲面.二平面的交线是直线;平面和曲面的交线是平面曲线;二个曲面的交线是空间曲线;曲面方程,平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）,①椭圆锥面xyo当x=0为二条相交直线y=±bzn次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次的：准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0zyt是任意数一般锥面---扩充知识点②椭球面1、椭球面与三个坐标面的交线：2、椭球面与平面z=z0的交线为椭圆同理与平面x=x0和y

6、=y0的交线也是椭圆.3、椭球面的几种特殊情况：的旋转椭球面由椭圆绕轴旋转生成可写成方程可写为由圆绕x轴或y轴旋转生成的球面xyzO双曲面③单叶双曲面xyzo对垂直于z轴的平面z=z0对垂直于y轴的平面y=y0同样,对垂直于x轴的平面x=x0当

7、y0

8、

9、y0

10、>b,实轴沿z轴方向直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.单叶双曲面是直纹面④双叶双曲面xyo单叶：双叶：...yxzo在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用z=h去截它们，当

11、h

12、无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭

13、圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐近锥面：双曲面的渐近锥面（二）抛物面⑤椭圆抛物面用坐标面xoy(z=0)与曲面相截得坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的顶点.xyzo与平面z=z0>0的交线为椭圆.与平面x=x0和y=y0相交均截得抛物线线.特殊地：当a=b这是由抛物线y2=a2z绕z轴旋转生成的旋转抛物面时，方程变为oyxz⑥双曲抛物面（马鞍面）对z=z0,对应于z0>0,<0的截痕是双曲线这些双曲线都以z0=0所对应的直线为共同渐近线对x=x0是形