高数A习题课空间解析几何

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1、直线、曲面、曲线、二次曲面编辑：孙学峰制作：彭豪习题课（4）二、作业讲析三、典型例题讲解四、练习题一、内容总结一、内容总结1.直线方程对称式:参数形式:两点式:一般形式：三元一次方程组.x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt;2.曲面基本曲面：球面，圆柱面，柱面，旋转曲面空间曲面的一般方程：F(x,y,z)=0F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面.F(x,z)=0表示母线平行于y轴的柱面.F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面.旋转曲面的方程可由母线C的方程(二元方程如F(x,y)=0)获得:旋转轴对应的变量(如x)不变，剩下的那个(

2、y)用除轴外的两个变量的平方和开平方根3.曲线x=x(t)y=y(t)z=z(t)一般方程参数方程4.二次曲面研究方法是采用平面截割法.用一些平行于坐标面的平面与曲面相截,然后加以综合,进而了解曲面的全貌.椭球面,双曲抛物面,椭圆抛物面,单叶双曲面,双叶双曲面二、作业讲析（练习册P38§1.4）六、求两直线L1：；L2：之间的距离和它们的公垂线L的方程。在直线L1与L2上分别取点M1(0,11,4)和点M2(6,-7,0),作M1M2=(6,-18,-4)，则所求距离为设公垂线方程为即x0+z0=1，y0=8.取z0=0，得x0=1.得直线方程为则

3、点P(x0,y0,z0)及方向向量S=(1,0,-1)应满足[S1,S,PM1]=0,[S2,S,PM2]=0公垂线方程解法二：点M(x,y,z)在公垂线上的充要条件为[S1,S,M1M]=0及[S2,S,M2M]=0整理得x-y+z+7=03x+y+3z-11=0例1：求过点P(1,2,-1)且过直线的平面方程.三、典型例题讲析解：已知直线过点A(2,2,1),方向向量S=(3,1,2)则点M(x,y,z)在所求平面上的充要条件为[S,PA,AM]=0例2.求过直线L1：和L2：的平面方程。解：易知两直线相交（共面），方向向量分别是则点M(x,y

4、,z)在所求平面上的充要条件为[S1,S2,M1M2]=0例3：求过点P(1,2,1)且与直线l2:相交的直线l的方程.解：因ll1,故有3m+2n+p=0①l1:垂直,与直线S=(m,n,p)l2过点A(0,0,0),方向向量为S=(2,1,-1)l与l2相交，故有[S,S2,AP]=0，即m-n+p=0②联立①②得例4.求点P0(1,2,1)到直线解：直线过点A(2,2,1),方向向量为S=(1,1,2)，所求距离为例5.在直线方程中，如何选取B的值才能使直线平行于xy平面？D取何值才能使直线平行于yz平面？B和D取何值才能使直线同时平行于平

5、面3x-2y+2z=0和x+2y-3z=0？解：当B=-6时，直线平行于xy平面；当D=2时，直线平行于yz平面；要使直线同时平行已知两平面，B、D应满足：3(2-D)-4+2(B+6)=01(2-D)+4-3(B+6)=0例6.过点P(0,0,1)向xy平面上的椭圆引直线，这些直线的全体构成一曲面，求曲面方程。解：设M(x,y,z)为曲面上的点，它与椭圆上点M1(x1,y1,0)相对应，且PM∥PM1.设PM=PM1，即x=x1，y=y1，z=-+1将代入得曲面方程例7.将直线绕z轴旋转一周,求所得旋转面的方程.解：设M(x,y,z)为旋

6、转曲面上任一点.它是直线上一点M1(x1,y1,z1)绕z轴旋转而得到.又M1(x1,y1,z1)在直线上,故有x1=z1+1=z+1，y1=2z1+1=2z+1,代入得旋转曲面方程：例8.曲面z=3x2+y2与曲面4-z=x2+3y2相交于曲线C，将C投影到各坐标面得三条投影曲线。求各投影曲线的方程。解：将z=3x2+y2与4-z=x2+3y2联立消去z得x2+y2=1.它是C到xy平面的投影柱面。它与z=0联立即是C到xy平面的投影曲线。同理，C到yz平面上的投影曲线为2y2+z–3=0x=0C到zx平面上的投影曲线为2x2-z+1=0y=0四

7、、练习题y=3x+5z=2x-3求过点P(-3,5,-9)且与两直线l1：，l2：相交的直线方程。y=4x-7z=5x+102.求与两直线l1：，l2：垂直相交的直线方程。x=3z-1y=2z-3y=2x-5z=7x+23.求直线l1:与l2：之间的距离。2x+5y-6z+4=03y+2z+6=04.求过原点且过直线的平面方程。已给平面1:x-2y+3z+D=0，2:-2x+4y+Cz+5=05.（1）若1∥2，求C、D。答案唯一吗？（2）若1与2重合，求C、D。6.已知点P(1,1,1)及xy平面上圆x2+y2=1，过圆上每一点与P作

8、直线得一曲面S，求S的方程。7.求直线绕x轴旋转所得旋转面的方程。8.试选择m使与相交。9.求空间曲线C投影到xy平面所得