气体分子平均自由程.docx

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1、§3.6气体分子平均自由程气体的输运过程来自分子的热运动。气体分子在运动过程中经历十分频繁的碰撞。碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程.碰撞使分子间不断交换能量与动量。而系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量：碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。 §3.6.1碰撞（散射）截面 图3.10是对分子碰撞过程较为直观而又十分简单的定性分析，在分析中假定两分子作的是对心碰撞。                         图3.10两分子做对心碰撞实际上两分子作对心

2、碰撞概率非常小,大量发生的是非对心碰撞。下面讨论非对心碰撞。图3.11表B分子（均视作重点）平等射向静止的A分子时，B分子的轨迹线，A分子的重心在O。                            图3.11碰撞截面由图可见，B分子在接近A分子时受到A的作用而使轨迹线发生偏折.若定义B分子射向A分子时的轨迹线与离开A分子时的轨迹线间的交角为偏折角。则偏折角随B分子与O点间垂直距离b的增大而减小.令当b增大到偏折角开始变为零时的数值为d,则d称为分子有效直径。由于平行射线束可分布O的四周，这样就以O为圆心“截”出半径为d的垂

3、直于平行射线束的圆。所有射向圆内区域的视作质点的B分子都会发生偏折，因而都会被A分子散射。所有射向圆外区域的B分子都不会发生偏折，因而都不会被散射。故该圆的面积为分子散射截面，也称分子碰撞截面。在碰撞截面中最简单的情况是刚球势。这时，不管两个同种分子相对速率多大，分子有效直径总等于刚球的直径.对于有效直径分别为d1、d2的两刚球分子间的碰撞，其碰撞截面为         （3.25）对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌，而被碰撞的其它视为质点的B分子可比喻为箭。 §3.6.2分子间平均碰撞频率 研究气体分子之间的碰撞

4、时，我们更关心的是单位时间内一个分子平均碰撞了多少次，即分子间的平均碰撞频率.在上一节讨论碰撞截面时假定视作盾牌的被碰撞的A分子静止，视作质点的B分子相对A运动，去碰撞A.现在反过来，认为所有其它分子都静止，而A分子相对于其它分子运动，显然A分子的碰撞截面这一概念仍适用.这时A分子可视为截面积的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心轴方向以速率运动.这相当于一盾牌以相对速率v12向前运动，而“箭”则改为悬浮在空间中的一个个小球。圆盘每碰到一个视作质点的其它分子就改变运动方向一次，因而在空间扫出如图3.12那样的其母线呈折线的“圆柱体”。  图3

5、.12分子碰撞频率只有那些其质心落在圆柱体内的分子才会与A发生碰撞。例如图中的B和C分子的质心都在圆柱体内，它们都使A分子改变运动方向，而图中其它分子的质心均在圆柱体外，它们都不会与A相碰撞。单位时间内A分子所扫出的“圆柱体”中的平均质点数，就是分子的平均碰撞频率                          （3.26）其中n是气体分子数密度，是A分子相对于其它分子运动的平均速率。对于同种气体，。其证明见例3.10。因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为                      （3.27）其中

6、。因为     故（3.27）式也可改写为        （3.28）说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温度越低）分子间碰撞越频繁。 [例3.9]估计在标准状况下空气分子的平均碰撞频率。 [解]可求得标准状况下空气分子平均速率为446，洛施密特常量为[见（1.16）式]设空气分子有效直径为3.5×10-10m，将它们代入（3.27）式，可得             （3.29）说明分子间的碰撞十分频繁，一个分子一秒钟内平均碰撞次数达109数量级。[例3.10]设处于平衡态的混合理想气体由“1”与“2”两种分子组成，“1”分

7、子与“2”分子的平均速率分别为，试用近似证法求出“1”分子相对于“2”分子运动的相对运动平均速率，并证明对于纯气体，分子间相对运动的平均速率，其中为该纯气体的分子相对于地面运动的平均速率.[解]因为相对运动速率是相对速度矢量的大小（即绝对值），故                  而相对速度矢量可写为v12=v2-v1.其中v2与v1是从地面坐标系看“2”及“1”分子的速度矢量，故        在等式两边取平均             （3.30）其中表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值，设v2、v1间夹角为，

8、则考虑到理想气体分子的速度的大小与方向是相对独立的，的乘积的平均值应等于其平均值的乘积。用球坐标可以证明，这一偶函数的平均值为零，故 这时（3.30）式可写成      利用近似条件       ~~~上式又可写为