最新06集合代数教学讲义PPT课件.ppt

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1、06集合代数本章说明本章的主要内容集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、全集、幂集集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、广义并文氏图—有穷集计数问题集合恒等式本章与后续各章的关系是集合论后面各章的基础是典型的布尔代数系统引言集合论集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不可缺少的数学工具和表达语言。集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研究。1976～1983年，康托尔

2、(GeorgCantor)发表了一系列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础，以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。6.1集合的基本概念集合(Set)是不能精确定义的基本概念。所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。(康托)直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：方程x2－1＝0的实数解集合：26个英文

3、字母的集合；坐标平面上所有点的集合；……集合通常用大写的英文字母来标记。指定范围特定对象常见的数的集合（固定的符号）0,1,2,…自然数集合N…,-2,-1,0,1,2,…整数集合Zp/q,p,q是整数，且q≠0有理数集合Q实数集合R复数集合C集合的表示方法表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。A＝{a，b，c，…，z}Z＝{0，±1，±2，…}C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数}谓词表示法(defi

4、ningpredicate)是用谓词来概括集合中元素的属性。A＝{x

5、P(x)}B＝{x

6、x∈R∧x2－1＝0}许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。代表元X所具有的性质p集合的元素集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是无序的。例如：{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。元素和集合之间的关系元素和集合之间的

7、关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，bA，{d}A。b和{d}是A的元素的元素。可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。说明隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。规定：对任何集合A都有AA。Aa{b,c}d{{d}}bc{d}d子集（subset）定义6.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，

8、记作BA。包含的符号化表示为BAx(x∈B→x∈A)如果B不被A包含，则记作BA。例如：NZQRC，但ZN。显然对任何集合A都有AA。隶属和包含的说明隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如A＝{a，{a}}和{a}既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。集合相等(equal)定义6.2设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记作A＝B。相等的符号化表示为

9、：A＝BAB∧BA如果A与B不相等，则记作A≠B。真子集定义6.3设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真子集，记作BA。真子集的符号化表示为BABA∧B≠A如果B不是A的真子集，则记作BA。例如：NN空集(emptyset)定义6.4不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集的符号化表示为：＝{x

10、x≠x}。例如:{x

11、x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。空集的性质推论空集是唯一的。证明：假设存在空集1和2，由定理6

12、.1有12，21。根据集合相等的定义，有1＝2。定理6.1空集是一切集合的子集。证明：任给集合A，由子集定义有Ax(x∈→x∈A)右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以A也为真。集合A中元素的数目称为集合A的基数（basenumber)，记为

13、A

14、。如

15、A

16、是有限的，则称集合A为有限集，如

17、A

18、是无限的，则称集合A为无限集。求下列集合的基数。（1）A=Φ ；（2）B={Φ}；（3）C={a,b,c}；（4）D={a,{b,c}}。解

19、A

20、