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《2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直一素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.6.3平面与平面垂直(一)【情境探究】1.如图,教室内的门与墙面,观察当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?提示:二面角.(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示:二面角的平面角.必备知识生成2.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度?提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的
2、二面角;这3个二面角都为90°.3.如何定义两个平面互相垂直?提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.4.如何画两个相互垂直的平面?平面α与平面β垂直,记作什么?提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.【知识生成】1.二面角及其平面角半平面棱面棱角平面角直角2.平面与平面垂直的判定定理垂线l⊂β垂直关键能力探究探究点一 二面角及其解法【典例1】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1
3、中,点D是AB的中点.(1)求证:AC1∥平面CDB1;(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC=,求二面角B1-CD-B的大小.【思维导引】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED,根据三角形中位线得到ED∥AC1,进而得到线面平行.(2)根据二面角的定义可证得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1中求解即可.【解析】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED.因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形.所以E是BC1的中点.因为
4、点D是AB的中点,所以ED是△ABC1的中位线,所以ED∥AC1,又ED⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.(2)∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.事实上,因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以AA1⊥CD.在△ABC中,AC=BC,D是底边AB的中点,所以CD⊥AB.因为CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1,因为DB1⊂平面ABB1A1,DB⊂平面ABB1A1,所以DB1⊥CD,DB⊥CD,所以∠BDB1是二面角B1-CD
5、-B的平面角.在直角三角形B1DB中,BB1=1,DB=AB=1,所以△B1DB为等腰直角三角形,所以∠BDB1=45°.即所求二面角为45°.【类题通法】1.求二面角的平面角的步骤(1)作:找出或作出二面角的平面角.(2)证:证明所找或作的角就是二面角的平面角.(3)求:在三角形中解出角的大小.2.二面角的平面角的常见作法(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的
6、两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.【定向训练】1.(2019·浙江高考)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC-B
7、的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β【解析】选B.方法一,如图,G为AC的中点,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影D在线段AO上,过D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,过P作PF∥AC交VG于F,过D作DH∥AC,交BG于H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,则cosα==cosβ,即α>β,tanγ==tanβ,即γ>β,综上所述,答案为B.方法二:(特殊位置)取V-ABC为正四面体,P为VA中点,易得cosα=⇒sinα=
8、,sinβ=,sinγ=可知B选项正确.2.如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)求二面角B-PA-D的大小;(2)求二面角B-PA-C的大小.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的大小为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正
