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《2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直二素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.6.3平面与平面垂直(二)【情境探究】1.教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直?提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.必备知识生成2.如图长方体ABCD-A′B′C′D′,在平面DCC′D′中,作直线l⊥DC.你能得出什么结论?提示:在平面DCC′D′内,若直线l垂直于交线DC,则直线l垂直于平面ABCD.【知识生成】平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果___________有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么
2、这条直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言一个平面内关键能力探究探究点一 平面与平面垂直的性质定理的应用【典例1】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.【思维导引】(1)连接BD,菱形ABCD,∠DAB=60°△ABD为正三角形BG⊥AD由平面与平面垂直的性质定理得出结论(2)连接PG,要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.【证明】(1)如图,在菱形ABC
3、D中,连接BD,因为∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.(2)如图,连接PG.因为△PAD是正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因为PG∩BG=G.所以AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.【类题通法】面面垂直性质定理的应用技巧(1)面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.(2)两
4、平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【定向训练】1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:D
5、E=2a,DM=a,DN=a,DB=2a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4·a2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4a2cos∠BDE,所以BM≠EN.2.如图所示,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.【证明】因为平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.所以BC⊥平面VAB,所以BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,所以VA⊥平面VBC,因为VA⊂平面VAC.
6、所以平面VBC⊥平面VAC.探究点二垂直关系的综合应用【典例2】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.(1)求证:平面PBC⊥平面PAC.(2)求证:直线l⊥AC.【思维导引】(1)关键是利用圆的性质,推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出线面垂直.(2)关键是先确定与直线l平行的直线,再证明垂直.【证明】(1)因为AB是☉O的直径,所以AB所对的圆周角∠ACB=90°,所以AC⊥CB,又因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂
7、平面ABC,所以BC⊥平面PAC,又因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF为△PCB的中位线,所以EF∥BC,又因为EF⊄平面ACB,BC⊂平面ACB,所以EF∥平面ABC,又因为EF⊂平面AEF,且平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,故l∥BC,由(1)知,BC⊥AC,所以l⊥AC.【类题通法】1.线面垂直条件的应用技巧当题目条件中含有线面垂直的条件时,一般想到的结论为:(1)线线垂直,即直线与平面内任一直线垂直.(2)面面垂直,即经过该直线的平面与该平面垂直.2.面面垂直条件的
8、应用技巧当题目中含有面面垂直的条件时,一般想到的解题思路为:(1)可以在一个平面内找或作一条垂直于交线的直线,转化为线面垂直,进而转化为
