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《2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘除运算素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.2.2复数的乘、除运算【情境探究】1.回顾二项式乘法运算,类比复数的乘法运算:(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=_________________.(2)z1=_____.(3)=__________.必备知识生成(ac-bd)+(ad+bc)ia2+b2a2-b2+2abi2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算法则得到除法运算法则,即=z⇔z1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的
2、商为x+yi,即x+yi=,等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,即(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,所以消去y,解得x=，同理消去x,解得y=.所以=+i(c+di≠0).【知识生成】1.复数代数形式的乘法法则已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.2.复数乘法的运算律(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1z1(z2z3)3.复数的除法运算(分母实数化)==+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).关键能力探究
3、探究点一 复数的乘法运算【典例1】1.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=的实部是________.2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.2.利用复数的乘法运算法则进行计算.【解析】1.z==3+i,则实部为3.答案:32.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5×(3-4i)=15-20i.【类题通法】复数乘法运算的注意事项(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.(2)多个复数的乘法运算,可以利
4、用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”解析复数乘法计算.复数的减法不满足交换律和结合律.1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=()A.-2B.-C.D.2【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.2.计算:【解析】方法一:方法二:探究点二 复数的除法运算【典例2】1.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则
5、z
6、=()A.2B.C.D.12.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].【思维导引】1.通过复数的除法
7、运算化简结果再计算复数的模.2.先对括号内的复数进行计算,再进行复数乘法运算.【解析】1.选C.因为z=所以z==-i,所以
8、z
9、=故选C.2.方法一:因为所以所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)÷===2-i.方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)×=2-i.【类题通法】复数除法运算的注意事项(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.(2)多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.提醒:复数的除法运算不
10、满足交换律和结合律.【定向训练】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.2.(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是()【解析】选D.因为所以复数的虚部为探究点三 复数乘方运算以及周期性【典例3】计算i+i2+i3+…+i2020=________.【思维导引】计算in,n∈N*的值,明确周期性计算.【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…所以i+i2+i3+…+i2020=505×0=0.答案:0【类题通法】in(n∈N*)的周期性计
11、算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
12、因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,=i,=-i.【定向训练】已知w
