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1、§7.4xyz表象和rθφ表象比照三维运动位置矢量的表达式，相应的算符可以写成下列形式一、xyz表象三个位置算符X,Y,Z是相互对易的，各自有一组本征矢量，并各自构成一个Hilbert空间，即1描写单粒子三维运动状态的Hilbert空间就是这三个空间的直积空间，其基矢为是位置算符X,Y,Z的共同本征矢量，本征值分别为x,y,z。按照直积空间算符的写法，可严格定义为上式中，是单位矢量，而I是单位算符。从这里可以理解矢量和算符的细微差别：前者有方向性，后者是作用算符；矢量往往以本征值的形式出现。2若令是算符的本征矢量，本征值为，即以后为方便起见将省去直积号，比如即是位置表象中的态函数。微观粒子的
2、状态由直积空间中的一个归一化矢量来描写，其在上的分量是总之，取单粒子基矢构成的表象称为xyz表象.3二、rθφ表象取r为的长度，为径矢方向上的单位矢量，如右图则若以z轴为极轴取球坐标，则4与r和对应的算符为R和后者称为方向算符。设R和的本征矢量为和，则可见算符R的本征矢量就是本征矢量,其本征值取的本征值开方即可；5而方向算符的本征值是三维物理空间中的一个单位矢量，用表示，本征矢量是的简写，于是有即到此为止，我们发现位置算符有两种直积分解形式：6而的本征矢量所张成的空间相应的也有两种直积分解方式，即因此，全体和全体分别是这个空间的一组基矢，它们是一一对应的，即当时，有我们已经介绍，单粒子基矢构
3、成的表象为xyz表象。类似地，基矢构成的表象称为表象。72、归一化关系本征矢量
4、x,y,z>的归一化关系为下面看的归一化关系。利用的完全性关系，则但以上两式比较，得这就是
5、r>的归一化关系。8同样利用的完全性关系，有又根据δ函数的定义以上两式比较，得这就是的归一化关系。91、完全性关系三、基矢的正交归一完全性关系本征矢量组{
6、x,y,z>}的完全性关系是而本征矢量组的完全性关系是分解开写有即103.任意态函数按照基矢的展开(1)按基矢
7、xyz>展开在函数空间中，算符X的本征值为的本征矢量的函数形式为由于在函数空间中x,y,z是自变量，所以这里表示本征值，即同样对于算符R，有11任意态函数按位
8、置表象基矢的展开式为(2)按基矢展开在表象中，基矢的函数形式为任意态函数按此基矢的展开式为12另外描写同一状态的矢量与之间的关系可以这样得出：令前者中即可得后者。而的归一化条件是§7.5函数空间的性质（自己阅读）13§8角动量算符和角动量表象§8.1几种角动量算符一、几种角动量1.轨道角动量2.自旋角动量自旋角动量没有经典对应，同这个粒子的位置和动量没有任何关系。人们根据自旋角动量与轨道角动量具有相类似的物理性质，作出了以下假定：14（1）分量满足相似的对易关系（2）粒子自旋角动量各分量算符与粒子的位置及动量算符均对易这是一个新的假设，是五条基本原理推不出来的，可以将其补充到有关对易关系的原
9、理3中。这样就产生了总角动量概念。3.总角动量两个含义：设总角动量为下面求其对易关系。15首先根据原理3，不论代表什么角动量，都有即二者的任意分量都对易。以为例证明如下：同样任意多角动量算符和都服从该对易关系。16本征值为此形式保证了是无量纲的数。二、总角动量及其z分量算符的本征值与本征函数已知则这样有共同的本征矢量完全组，设为，则有在初等量子力学中，我们利用升降算符的定义求得了本征值，即有17且有有时也分别写为
10、jm>,
11、lm>,
12、sm>.通常情况下，的本征矢量写成,的本征矢量写为，而自旋的本征矢量写成。18重要！后面要用到。而升降算符对态矢量
13、jm>的作用可以写为由于
14、jm>是一组对易的
15、厄米算符的共同本征矢量，必须满足正交归一关系此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量都成立。﹟19§8.2轨道角动量算符和方向算符(单位算符)一、轨道角动量算符和方向算符的对易关系1.方向算符的有关定义令方向算符且分量满足定义则有或202.方向算符与轨道角动量算符之间的关系利用公式很容易得出的相关对易关系：21另外，利用前面所学的公式容易得出二、方向算符对轨道角动量本征矢量的作用1.对
16、ll>,
17、l,-l>的作用利用及的相关对易关系，容易证明22以上两式两边作用到
18、ll>上，有注意：或由此可见，也是与的本征矢量，本征值分别为及,相应的量子数为23故可以写为下列形式：同样考虑和，得其
19、中c都是归一化常数，与l有关。24通过推导，最后可以得到﹟252.对
20、lm>的作用这是我们最关心的问题，为此证明公式[证]用数学归纳法。（1）当k=1时，显然成立（2）当k=n时成立，即则26即当k=n+1时也成立。（3）综合（1）（2），原式对任何正整数k都成立，即利用这个公式，可以写出27已经知道利用公式可以算出在第一式中，可用同样方法算出。现在关键问题是求。28为此用作用于
21、ll>上得对于新出现的，只要
