2013第十八章——不等式选讲.doc

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1、第十八章　不等式选讲高考导航考纲要求备考策略　　1.理解绝对值的几何意义，并能用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①

2、a＋ｂ

3、≤

4、ａ｜＋

5、ｂ｜；②｜a—ｂ

6、≤

7、a－ｃ

8、＋｜c-b

9、。　2．能用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：≤ｃ；≥c；+≥c。３．了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.　4．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用它证明一些简单问题.　　５。了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式（a2＋b2）(c2＋d2)≥（ac＋ｂd）2、向量形式｜α｜·｜β｜≥

10、α·β

11、、平面三角不等式＋≥,理解它们的几何意义。6.会用参数配方法讨论柯西不等式的

12、一般情形：a·ｂ≥（aiｂｉ）２.　　7．会用向量递归方法讨论排序不等式.　８.会用数学归纳法证明贝努利不等式：（1+ｘ)n〉1+nx　（x>－1，x≠0，ｎ为大于1的正整数），了解当n为大于１的实数时贝努利不等式也成立．　　9．会用上述不等式证明一些简单问题,能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.　不等式选讲是高考中的选做内容,湖南省2０11年高考对本章内容考查的是第10题，5分,常以填空题的形式考查绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式的简单应用,也以解答题的形式考查运用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法进行推理证明.　复习时采用以下应对策略：　1.首先要理

13、解绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式的意义，能选择适当的不等式进行证明和运算．　2.牢固掌握比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法的证明步骤和方法技巧.　3。不要做过多较难、较复杂的有关不等式的题型.知识网络ﻬ１8．１　绝对值型不等式考点诠释重点：理解绝对值三角不等式的意义及应用,掌握绝对值不等式的解法及其应用．难点：绝对值三角不等式的应用,绝对值不等式的解法。典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x）＝

14、x—1｜+｜x—2｜.(1）解不等式f（x）〉3;（2)若f(x）＞ａ对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.【思路分析】（1)利用零点分段讨论去绝对值号求解;(2）

15、将不等式恒成立问题转化为求函数f（x)的最小值问题.【解析】(1）因为f(ｘ）＝

16、x－1

17、+｜x—2

18、＝所以当x＜1时,3－2x〉3，解得ｘ<0；当1≤ｘ≤2时,f(x)＞3无解；当x>２时,2x—3>３,解得x＞3.所以不等式f（x)＞3的解集为（－∞,０)∪(3，+∞)．（2）因为f(x)＝所以ｆ（x）ｍin=1．因为f(ｘ)＞a恒成立,所以a<1，即实数a的取值范围是（－∞,1).【方法归纳】(1）形如

19、x—ａ｜±｜x－b｜≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：①求零点;②划分区间，去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集,特别注意在分段时不要漏掉区间的端

20、点值。(2）上述不等式也可用｜x-a

21、±

22、x－ｂ

23、的几何意义来求解集.【举一反三】1．设函数f（x)=.（1）当ａ＝-5时,求函数f（x）的定义域；（2）若函数ｆ（x)的定义域为R,试求a的取值范围．【解析】(1）由题设知｜x+1｜+｜x－2｜—5≥0,如图，在同一坐标系中作出函数y＝｜x+１

24、＋

25、x-2

26、和y＝５的图象(如图所示)，知定义域为（-∞,－2］∪［３，+∞）．（2）由题设知，当ｘ∈R时，恒有

27、x+１｜+｜x-2｜+a≥0，即

28、x+1

29、+

30、x-2｜≥－a，又由(1)

31、x+1｜+｜x-2

32、≥3，所以-a≤3，即a≥-3。题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f(ｘ）＝

33、x－1

34、｜+

35、x－2｜，若不等式

36、a+b

37、＋｜a－ｂ｜≥

38、ａ

39、ｆ（x)对a≠0，ａ、b∈Ｒ恒成立，求实数x的范围。【思路分析】首先利用绝对值三角不等式得｜a＋b｜+｜a—b｜≥２｜a｜，从而得f(x）≤2，然后解绝对值不等式．【解析】由

40、a＋ｂ｜+｜a—b

41、≥

42、a｜f（ｘ）且a≠0得≥ｆ（x）。又因为≥＝2,则有2≥f（ｘ）.解不等式｜x－１

43、＋｜x—2｜≤２得≤x≤。【方法归纳】（1)对绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b

44、≤

45、a±b

46、≤

47、a｜+｜ｂ｜中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时．(2）该定理可以强化为:｜｜a｜－

48、ｂ｜｜≤｜a±ｂ｜≤｜a

49、+

50、b｜,它经常用于证明含绝

51、对值的不等式。（3）对于y=｜x—a

52、＋｜x－b｜或y＝｜ｘ＋a

53、－

54、x—b｜型的最值的求法，利用绝对值三角不等式更简便．【举一反三】２。对任意ｘ∈R，｜2－x

55、+｜3＋ｘ

56、≥ａ2-4a恒成立，则ａ的取值范围是　　[－1，5］　．【解析】因为

57、2－ｘ

58、＋

59、3＋x｜≥５，要使

60、2-x

61、+

62、３＋x

63、≥a2－4ａ恒成立，即５≥a２－4a，解得—1≤a≤5.题型三　利用绝对值不等式求参数范围【例3】设函数f（x）＝

64、x－1｜+｜x－ａ

65、.（