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1、考研线性代数《考研线性代数复习+提纲》目录第一章线性代数中最基本的概念1.线性方程组的基本概念2.矩阵与向量(1)基本概念(2)线性运算和转置(3)n阶矩阵与几个特殊矩阵3．初等变换和阶梯形矩阵4.线性方程组的矩阵消元法第二章行列式1.形式与意义2.定义(完全展开式)3.性质4.计算5.克莱姆法则第三章矩阵乘法和可逆矩阵1.矩阵乘法的定义和性质2.乘积矩阵的列向量组和行向量组3.n阶矩阵的方幂和多项式4.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)第四章向量组的线性关系和秩1.向量组的线性表示关系2.向量组的
2、线性相关性3.向量组的极大无关组和秩4.秩的计算有相同线性关系的向量组5.矩阵的秩第五章线性方程组1.线性方程组的形式2.线性方程组解的性质3.线性方程组解的情况的判别4.齐次线性方程组的基础解系线性方程组的通解分析第六章n阶矩阵的特征向量和特征值1.定义2.计算3.性质29考研线性代数第一章线性代数中最基本的概念(基础比较好的考生可不看这部分内容,或者只用本部分的习题进行一次自我测试.)1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+¼+a1nxn=b1,a21x1+a
3、22x2+¼+a2nxn=b2,¼¼¼¼am1x1+am2x2+¼+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵a11a12¼a1na11a12¼a1nb1A=a21a22¼a2n和(A
4、b)=a21a22¼a2nb2¼¼¼¼¼¼¼am1am2¼amnam1am2¼amnbm为方程组的系数矩阵和增广矩阵.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,¼,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解
5、,无穷多解.b1=b2=¼=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵:a11a12¼a1na21a
6、22¼a2n¼¼¼am1am2¼amn这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼,an的向量可表示成a1(a1,a2,¼,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´2
7、9考研线性代数n矩阵,右边是n´1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1,a2,¼,an时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(a1,a2,¼,an).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量a和b相等(记作a=b),是指它的维数相等,并且对
8、应的分量都相等.(2)线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个m´n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA
9、.④数乘结合律:c(dA)=(cd)A.⑤cA=0Ûc=0或A=0.转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作AT(或A¢).有以下规律:①(AT)T=A.②(A+B)T=AT+BT.③(cA)T=cAT.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当a是列向量时,aT表示行向量,当a是行向量时,aT表示列向量.向量组的线性组合:设a1,a2,¼,as是一组n维向量,c1,c2,¼,cs是一组数,则称c1a1+c2a2+¼+cs
