线性代数-考研笔记.doc

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1、第一章行列式性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作(或)。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作(或)。性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：=性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数

2、然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。定义在阶行列式，把元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作；记，叫做元的代数余子式。引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理3(行列式按行按列展开法则)行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。范德蒙德行列式克拉默法则①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即，那么，方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素用方程组

3、右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即定理4如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理如果，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1由个数排成的行列的数表，称为行列矩阵；以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意

4、不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作定义2矩阵的加法设有两个矩阵和，那么矩阵与的和记作，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设矩阵）（i.）（ii.）定义3数与矩阵相乘数乘矩阵满足下列运算规律（设矩阵，为数）（i.）；（i.）；（ii.）（iii.）定义4矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中，并把此乘积记作注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（

5、右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）（i.）（（ii.）（iii.）（）A=BA+CA（iv.）（v.）；矩阵的转置定义5把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作。性质：（i.）；（ii.）（iii.）（iv.）定义6由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵的行列式，记作detA；（为阶方阵，为数）（i.）=（ii.）=（iii.）=伴随矩阵定义：的各个元素的代数余子式性质：定义7对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵。定理1若矩阵可逆，则定理2若

6、，则矩阵可逆，且其中为矩阵的伴随阵。是可逆矩阵的充分必要条件是推论若，则方阵的逆阵满足下述运算规律：（i.）若可逆，则亦可逆，且（ii.）若可逆，数，则可逆，且（iii.）若为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且分块矩阵的运算法则（i.）分块矩阵的加法矩阵的加法（ii.）数与分块矩阵相乘数与矩阵相乘（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘矩阵与矩阵相乘（iv.）分块矩阵的转置:设（v.）设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵克拉默法则对于个变量、个方程的线性方程组如果它的

7、系数行列式，则它有唯一解第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i.）对调两行（对调两行，记作）；（ii.）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作）；（iii.）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行上，记作；把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“”换成“”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，就称与行等价，记作；如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，就称与列等价，记作；如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称与列等价，记作

8、；矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i.）反身性；（ii.）对称性