线性代数-考研笔记

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1、第一章行列式性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。第i行（或者列）乘以k，记作ri×k(或ci×k)。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第i行（或者列）提出公因子k，记作ri÷k(或ci÷k)。性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则D等于下

2、列两个行列式之和：D=a11a12⋯a21a22⋯a1i+a1i'⋯a1na2i+a2i'⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani+ani'⋯ann=a11a12⋯a21a22⋯a1i⋯a1na2i⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani⋯ann+a11a12⋯a21a22⋯a1i'⋯a1na2i'⋯a2n⋮⋮an1an2⋯⋮⋮ani'⋯ann性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。a11⋯a1ia21⋯a2i⋯a1j⋯a1n⋯a2j⋯a2n⋮⋮an1⋯ani⋮⋮⋯anj⋯annci+kcj=

3、a11⋯a1i+ka1ja21⋯a2i+ka2j⋯a1j⋯a1n⋯a2j⋯a2n⋮⋮an1⋯ani+kanj⋮⋮⋯anj⋯anni≠j(ci+kcj⇔rci+krj)定义在n阶行列式，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij定理3(行列式按行按列展开法则)行列

4、式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAini=1,2，⋯，n，或D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnjj=1,2，⋯，n推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0i≠j和a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0i≠j范德蒙德行列式Dn=11x1x12x2x22⋮⋮⋯1⋯xnxn2⋯⋮x1n-1x2n-1⋯xnn-1=n≥i>j≥1xi-xj克拉默法则a11x1+a12

5、x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn①如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即D=a11⋯⋮a1n⋮an1⋯ann≠0，那么，方程组①有唯一解x1=D1D，x2=D2D，，xn=DnD其中Dj(j=1，2，⋯，n)是把系数行列式矩阵D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即Dj=a11⋯a1，j-1⋮⋮b1a1，j+1⋯a1n⋮⋮⋮an1⋯an，j-1bnan，j+1⋯ann10/10定理4如果非齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则

6、非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理4’如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理5如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解定理5’如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零第二章矩阵级其运算定义1由m×n个数aij(i=1，2，⋯，n)排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵；A=a11a12a21a22⋯a1na2n⋮⋱⋮am1am2⋯amn以数aij为(i，j)元的矩阵可简记作（aij）或（aij）m×nm×n矩阵A也记作Am×n。行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵

7、或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵A和B的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，A=B；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵n阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；E=1001⋯00⋮⋱⋮00⋯1对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作Λ=diag(λ1,λ2，⋯，λn)Λ=λ100λ2⋯00⋮⋱⋮00⋯λn定义2矩阵的加法设有两个m×n矩阵A=（aij）和B=（bij），那么矩阵A与B的和记作A+B，

8、规定为A+B=a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22⋯a1n+b1na2n+b2n⋮⋱⋮am1+bm1am2+bmn2⋯amn+bmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个