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1、1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=
2、A
3、E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。8.若要证明抽象n阶实对
4、称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。2010考研基础班线性代数主讲：尤承业135第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n个数,,…,构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无
5、穷多解时求通解.齐次线性方程组:的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).135二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号或方括号,m行n列的表格称为m´n矩阵.这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.是一个2´3矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,
6、一个方程组的系数矩阵为,常数列为,则方程组为135由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2.矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和是不是一样?作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´3矩阵,右边是3´1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.3.n阶矩阵与几个特殊矩阵n´n的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右
7、下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.135单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵?①②③④⑤对角矩阵:①、②、⑤上三角矩阵:①、②、③、⑤下三角矩阵:①、②、⑤对称矩阵:①、②、④
8、、⑤三.线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的.①加(减)法:两个m´n的矩阵A和B135可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).②数乘:一个数c与一个m´n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c.向量组的线性组合:设，…，是一组n维向量,,,…,是一组数,则称为，…，的(以,,…,为系数的线性组合.例:求矩阵的列向量组的系数为
9、1,1,1的线性组合.135解:2.转置把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作.四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.A®B.1352.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,非零行,则都零行在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?一个n阶的阶梯形
10、矩阵一定是上三角矩阵.135问题:如果A是阶梯形矩阵.(1)A去掉
