数学刺班(线性代数)考研讲义

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1、数学刺班(线性代数)考研讲义合工大（共创）考研辅导中心冲刺班（线代代数部分）讲义一、现阶段数学复习策略1归纳整理，查漏补缺,注意自己总结复习；2实战演练，做真题及模拟题（真实环境），提高解题速度，找出差错。3积极备考,注意身体及心态；二、线性代数复习概论线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点。技巧少，方法比较固定。1、吃透概念，掌握性质线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关

2、与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。2正确熟练运用基本方法及基本运算基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求（非）齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。3．注重知识点的转换与联系线性代数各章节的内容，如行列式、矩阵、向量、方程组是线

3、性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如A是n阶方阵，若，｜A｜≠0(称A为非奇阵)．<=>A是可逆阵．<=>有n阶方阵B，使得AB=BA=E．<=>B=A-1＝A*／｜A｜．<=>r(A)=n(称A是满秩阵)．<=>存在若干个初等阵P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E．<=>(AE)→(EA┆┆-1)．<=>A可表示成若干个可逆阵的乘积．<=>A可表示成若干个初等阵的积。<=>A的列向量组线性无关(列满秩)．<=>AX=0，唯一零解．<=>A的行向量组线性无关(行满秩)．<=>A的列(行)向量组是Rn空间的基．<=>任何n维列向

4、量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一)．<=>对任意的列向量b，方程组AX＝b有唯一解，且唯一解为A-1b<=>A没有零特征值，即λi≠O，i＝1，2，…，n．<=A是正定阵(正交阵)等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路三、线性代数复习重点大家知道，线性代数前后知识的联系非常紧密，所以我们在这一部分复习的时候，一定要抓住我们线性代数的前后联系的这样一些关键点，把知识连贯起来，我们就会发现，掌握起来是比较容易的。整个线性代数，我个人认为，可以分成三大块内容。第一部分，行列式和矩阵，是我们线性代数的基础部分，基础部分一般来讲不

5、考大题。以这个为基础，另外两部分，一部分是向量和线性方程组，一般情况下每年在这个部分考一个大题，还有特征向量与二次型，其次特别是二次型，也可以看作同一件事情的两个不同方面。第一部分，行列式和矩阵(基础部分,一般考小题)行列式这部分没有太多内容，主要就是行列式的意义、性质及计算。重点在于行列式的展开方法。这个问题就是重要的公式。一个矩阵A乘上A的伴随矩阵等于A的行列式乘以单位阵。矩阵是一个基础，关联到整个线代，所以矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算。因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的影响，所以这个地方大家要把它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的就是初等

6、变换。我们在解方程组，求特征向量都离不开的东西。这是我们矩阵部分的重点。重要题型：1计算行列式2矩阵运算（逆矩阵计算与证明）3求矩阵的秩例1设12,,,nααα..是维列向量，又n()12nAααα=..，()11nnBααα.=..，如3A=，则____AB+=；解因为，()()1211121100011000101001nnnnABααααααααα.........+=+++=............................又111111(1)1111n+=+.....，所以13(1(1))nAB++=+.例2.已知,AB均为3阶不可逆矩阵，且满足5ABB+

7、=，若，则行列式()2rB=

8、

9、____AE+=解：设()123Bβββ=，由(5)AEB+=知，5λ=.是矩阵A的特征值，且123,,βββ是关于特征值-5的特征向量。由()2rB=，所以5λ=.至少有2个线性无关的特征向量。所以5λ=.至少是二重特征值。又因矩阵A不可逆，0λ=必是矩阵A的特征值。从而A的特征值是-5，-5，0，AE+的特征值为-4，-4，1，故(4)(4)116AE+=..=。例3设阶矩阵n,AB满足，则必有2()ABE=（A）ABE=；（B）AB=.；（C）22ABE=；（D）2()BAE=解：选（D）